Determinar uma base para o espaço nulo da matriz: A=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 6 & 4 & 6 & 0 \\\\ 3 & 6 & 3 & 3 & 3 \\\\ 4 & 6 & 2 & 0 & 6\end{array}\right)
sabendo que as colunas 2 , 4 e 5 (contadas a partir da esquerda) podem ser obtidas por combinação linear da 1{ }^{\mathrm{a}} e da 3{ }^{\mathrm{a}} colunas.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar uma base para o espaço nulo (núcleo) da matriz
Se c_2,c_4,c_5 são combinações de c_1 e c_3, então a soma acima pode ser escrita como combinação só de c_1 e c_3. Assim, obtemos duas equações escalares (os coeficientes de c_1 e de c_3 devem ser zero) em vez de um sistema 4×5 completo.
Primeiro passo prático: encontrar explicitamente os coeficientes que expressam c_2,c_4,c_5 em função de c_1 e c_3.
Passo 3
Expressar c_2,c_4,c_5 em função de c_1 e c_3. Vou procurar constantes \alpha,\beta tais que c_2=\alpha c_1+\beta c_3 e fazer o mesmo para c_4,c_5.
Agora, c_1 e c_3 não são múltiplos um do outro (por exemplo, c_1=(1,2,3,4)^{T} e c_3=(1,4,3,2)^{T} — claramente não há \lambda tal que c_1=\lambda c_3), então são linearmente independentes. Portanto as duas combinações escalares têm que ser zero separadamente. Assim obtemos o sistema de duas equações lineares em x_1,\dots,x_5:
Resolver o sistema para descrever o espaço solução. Temos 5 variáveis e 2 equações, então haverá 5-2=3 graus de liberdade (dimensão do núcleo = 3). Vou escolher x_3,x_4,x_5 como parâmetros livres e resolver para x_1,x_2.
Concluir a base do espaço nulo. Os três vetores que multiplicam os parâmetros formam um conjunto gerador do núcleo; são linearmente independentes (são claramente independentes porque cada um tem um padrão distinto em coordenadas onde os outros têm zeros). Portanto uma base para o espaço nulo é formada por: