Determinar uma base para o espaço nulo da matriz:
A=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 6 & 4 & 6 & 0 \\\\ 3 & 6 & 3 & 3 & 3 \\\\ 4 & 6 & 2 & 0 & 6\end{array}\right)
sabendo que as colunas 2 , 4 e 5 (contadas a partir da esquerda) podem ser obtidas por combinação linear da 1{ }^{\mathrm{a}} e da 3{ }^{\mathrm{a}} colunas.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar uma base para o espaço nulo (núcleo) da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 6 & 4 & 6 & 0 \\\\ 3 & 6 & 3 & 3 & 3 \\\\ 4 & 6 & 2 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (peguei estes vetores das colunas da matriz):
  • A primeira coluna é c_1=(1,2,3,4)^{T}.
  • A segunda coluna é c_2=(2,6,6,6)^{T}.
  • A terceira coluna é c_3=(1,4,3,2)^{T}.
  • A quarta coluna é c_4=(1,6,3,0)^{T}.
  • A quinta coluna é c_5=(1,0,3,6)^{T}.
  • Está dito que as colunas 2, 4 e 5 são combinações lineares das colunas 1 e 3.
Resumo do objetivo prático: encontrar todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{T} tais que A x=0, e extrair uma base do conjunto solução.

Passo 2

Entendendo a vantagem da informação dada e reduzindo o problema (sem ainda resolver nada):
  • A equação A x=0 é equivalente a
x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 + x_4 c_4 + x_5 c_5 = 0.
  • Se c_2,c_4,c_5 são combinações de c_1 e c_3, então a soma acima pode ser escrita como combinação só de c_1 e c_3. Assim, obtemos duas equações escalares (os coeficientes de c_1 e de c_3 devem ser zero) em vez de um sistema 4×5 completo.
  • Primeiro passo prático: encontrar explicitamente os coeficientes que expressam c_2,c_4,c_5 em função de c_1 e c_3.

Passo 3

Expressar c_2,c_4,c_5 em função de c_1 e c_3. Vou procurar constantes \alpha,\beta tais que c_2=\alpha c_1+\beta c_3 e fazer o mesmo para c_4,c_5.
Para c_2:
c_2=(2,6,6,6)^{T} \stackrel{?}{=} \alpha(1,2,3,4)^{T}+\beta(1,4,3,2)^{T}.
Das primeiras componentes:
2=\alpha+\beta.
Das segundas:
6=2\alpha+4\beta.
Resolvendo: \alpha=1,\\ \beta=1. Verificação rápida nas demais componentes dá 1\cdot3+1\cdot3=6 e 1\cdot4+1\cdot2=6. Logo
c_2 = c_1 + c_3.
Para c_4:
c_4=(1,6,3,0)^{T} \stackrel{?}{=} \gamma c_1 + \delta c_3.
Das primeiras componentes:
1=\gamma+\delta.
Das segundas:
6=2\gamma+4\delta.
Resolvendo: \delta=2,\\ \gamma=-1. Verificação nas outras componentes: -1\cdot3+2\cdot3=3 e -1\cdot4+2\cdot2=0. Logo
c_4 = -c_1 + 2c_3.
Para c_5:
c_5=(1,0,3,6)^{T} \stackrel{?}{=} \mu c_1 + \nu c_3.
Das primeiras componentes:
1=\mu+\nu.
Das segundas:
0=2\mu+4\nu.
Resolvendo: \nu=-1,\\ \mu=2. Verificação nas outras componentes: 2\cdot3+(-1)\cdot3=3 e 2\cdot4+(-1)\cdot2=6. Logo
c_5 = 2c_1 - c_3.
Resumo das relações (obtidas a partir das colunas da matriz):
c_2 = c_1 + c_3,\qquad c_4 = -c_1 + 2c_3,\qquad c_5 = 2c_1 - c_3.

Passo 4

Usar as relações para reduzir A x=0. Escrevendo a combinação linear:
x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 + x_4 c_4 + x_5 c_5 = x_1 c_1 + x_2(c_1+c_3) + x_3 c_3 + x_4(-c_1+2c_3) + x_5(2c_1-c_3).
Agrupando os termos em c_1 e c_3 obtemos
\bigl(x_1 + x_2 - x_4 + 2x_5\bigr)c_1 \;+\; \bigl(x_2 + x_3 + 2x_4 - x_5\bigr)c_3 = 0.
Agora, c_1 e c_3 não são múltiplos um do outro (por exemplo, c_1=(1,2,3,4)^{T} e c_3=(1,4,3,2)^{T} — claramente não há \lambda tal que c_1=\lambda c_3), então são linearmente independentes. Portanto as duas combinações escalares têm que ser zero separadamente. Assim obtemos o sistema de duas equações lineares em x_1,\dots,x_5:
\begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 + 2x_5 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 + 2x_4 - x_5 = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para descrever o espaço solução. Temos 5 variáveis e 2 equações, então haverá 5-2=3 graus de liberdade (dimensão do núcleo = 3). Vou escolher x_3,x_4,x_5 como parâmetros livres e resolver para x_1,x_2.
Da segunda equação:
x_2 = -x_3 - 2x_4 + x_5.
Da primeira equação:
x_1 = -x_2 + x_4 - 2x_5.
Substituindo a expressão de x_2 na de x_1:
x_1 = -(-x_3 -2x_4 + x_5) + x_4 - 2x_5 = x_3 + 2x_4 - x_5 + x_4 - 2x_5 = x_3 + 3x_4 - 3x_5.
Logo a solução geral é
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\end{pmatrix} = x_3\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + x_5\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
onde x_3,x_4,x_5\in\mathbb{R} são livres.

Passo 6

Concluir a base do espaço nulo. Os três vetores que multiplicam os parâmetros formam um conjunto gerador do núcleo; são linearmente independentes (são claramente independentes porque cada um tem um padrão distinto em coordenadas onde os outros têm zeros). Portanto uma base para o espaço nulo é formada por:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
\displaystyle \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}
\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}

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