Considere uma amostra aleatória de uma distribuição Gama com parâmetros \alpha e \beta, onde E(X)=\alpha / \beta e \operatorname{Var}(X)=\alpha / \beta^{2}. Demonstre que os estimadores de momentos são dados por:
\widehat{\alpha}_{M M}=\frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}} \quad \text { e } \quad \widehat{\beta}_{M M}=\frac{\bar{X}}{S^{2}}
onde S^{2}=\frac{1}{n} \sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} é a variância amostral (denominador n ).
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição Gama com parâmetros \alpha e \beta. As informações fornecidas são:
A esperança (média) da distribuição é \displaystyle E(X)=\frac{\alpha}{\beta}.
A variância da distribuição é \displaystyle \operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha}{\beta^{2}}.
A variância amostral é definida como \displaystyle S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar{X}\bigr)^{2} (denominador n).
O que se pede: demonstrar que os estimadores pelo método dos momentos são
O que é o método dos momentos e como vamos aplicá-lo aqui.
Ideia do método dos momentos: igualar momentos amostrais aos momentos populacionais e resolver pelo(s) parâmetro(s).
Primeiro momento populacional (média) é \displaystyle \mu = E(X)=\frac{\alpha}{\beta}. O primeiro momento amostral é a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Pelo método dos momentos, igualamos \bar{X} a \mu:
\bar{X}=\frac{\alpha}{\beta}.
Segundo momento central populacional é a variância \displaystyle \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha}{\beta^{2}}. O segundo momento central amostral é a variância amostral fornecida:
Interpretação e checagem rápida (sem cálculos adicionais).
Fizemos exatamente o procedimento-padrão do método dos momentos: igualar primeira e segunda momento amostrais aos correspondentes populacionais e resolver o sistema.
As simplificações algébricas foram diretas (substituição e cancelamento de potências de \beta e S).
Os estimadores obtidos dependem apenas de \bar{X} e de S^{2}, como esperado para estimadores pelo método dos momentos baseado em média e variância.