Considere uma amostra aleatória de uma distribuição Gama com parâmetros \alpha e \beta, onde E(X)=\alpha / \beta e \operatorname{Var}(X)=\alpha / \beta^{2}. Demonstre que os estimadores de momentos são dados por:
\widehat{\alpha}_{M M}=\frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}} \quad \text { e } \quad \widehat{\beta}_{M M}=\frac{\bar{X}}{S^{2}}
onde S^{2}=\frac{1}{n} \sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} é a variância amostral (denominador n ).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição Gama com parâmetros \alpha e \beta. As informações fornecidas são:
  • A esperança (média) da distribuição é \displaystyle E(X)=\frac{\alpha}{\beta}.
  • A variância da distribuição é \displaystyle \operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha}{\beta^{2}}.
  • A variância amostral é definida como \displaystyle S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar{X}\bigr)^{2} (denominador n).
    O que se pede: demonstrar que os estimadores pelo método dos momentos são
\widehat{\alpha}_{MM}=\frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}} \quad\text{e}\quad \widehat{\beta}_{MM}=\frac{\bar{X}}{S^{2}}.

Passo 2

O que é o método dos momentos e como vamos aplicá-lo aqui.
  • Ideia do método dos momentos: igualar momentos amostrais aos momentos populacionais e resolver pelo(s) parâmetro(s).
  • Primeiro momento populacional (média) é \displaystyle \mu = E(X)=\frac{\alpha}{\beta}. O primeiro momento amostral é a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Pelo método dos momentos, igualamos \bar{X} a \mu:
\bar{X}=\frac{\alpha}{\beta}.
  • Segundo momento central populacional é a variância \displaystyle \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha}{\beta^{2}}. O segundo momento central amostral é a variância amostral fornecida:
S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar{X}\bigr)^{2}.
Pelo método dos momentos, igualamos S^{2} a \sigma^{2}:
S^{2}=\frac{\alpha}{\beta^{2}}.
Assim obtemos um sistema de duas equações em \alpha e \beta:
\begin{cases} \bar{X}=\dfrac{\alpha}{\beta},\\[6pt] S^{2}=\dfrac{\alpha}{\beta^{2}}. \end{cases}]

Passo 3

Organizar o sistema para resolver. Vou escrever cada equação isolando \alpha quando for conveniente.
Da segunda equação:
S^{2}=\frac{\alpha}{\beta^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = S^{2}\,\beta^{2}.
Essa expressão nos dá \alpha em função de \beta e de S^{2}.

Passo 4

Substituir a expressão de \alpha (obtida no passo anterior) na primeira equação para achar \beta.
A primeira equação é \bar{X}=\dfrac{\alpha}{\beta}. Substituindo \alpha = S^{2}\beta^{2} obtemos:
\bar{X} = \frac{S^{2}\beta^{2}}{\beta}.
Simplificando o lado direito (dividindo \beta^{2} por \beta):
\bar{X} = S^{2}\beta.
Agora isolar \beta:
\beta = \frac{\bar{X}}{S^{2}}.
Esse é exatamente o estimador \widehat{\beta}_{MM}.

Passo 5

Usar o valor encontrado para \beta para obter \alpha.
Recordando que \alpha = S^{2}\beta^{2}, substitui-se \beta=\dfrac{\bar{X}}{S^{2}}:
\alpha = S^{2}\left(\frac{\bar{X}}{S^{2}}\right)^{2}.
Calcular o quadrado dentro do parêntese:
\alpha = S^{2}\cdot\frac{\bar{X}^{2}}{S^{4}}.
Simplificar S^{2} com S^{4}:
\alpha = \frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}}.
Esse é o estimador \widehat{\alpha}_{MM}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (sem cálculos adicionais).
  • Fizemos exatamente o procedimento-padrão do método dos momentos: igualar primeira e segunda momento amostrais aos correspondentes populacionais e resolver o sistema.
  • As simplificações algébricas foram diretas (substituição e cancelamento de potências de \beta e S).
  • Os estimadores obtidos dependem apenas de \bar{X} e de S^{2}, como esperado para estimadores pelo método dos momentos baseado em média e variância.

Resposta

\widehat{\alpha}_{MM}=\dfrac{\bar{X}^{2}}{S^{2}}
\widehat{\beta}_{MM}=\dfrac{\bar{X}}{S^{2}}

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