Determinar uma base de 
  que contenha:
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço 
 , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. A base é como um conjunto de peças fundamentais que a gente usa para construir qualquer matriz 2x2. A gente já tem duas matrizes dadas:
Pra resolver isso, vamos precisar entender independência linear e base de espaços vetoriais. Vamos ver se essas duas matrizes são independentes e, se sim, vamos encontrar mais duas matrizes para completar a base.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se as matrizes 
  e 
  são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra escrever uma como múltiplo da outra. Pra fazer isso, vamos ver se existe algum número 
  tal que 
 .
Olha:
Isso dá as equações:
Da primeira equação, 
 . Mas da segunda e terceira, temos 
  e 
 , o que não faz sentido. Então, não existe 
  que satisfaça todas. Logo, 
  e 
  são linearmente independentes.
Passo 3
Como 
  tem dimensão 4 (ou seja, precisamos de 4 matrizes independentes para formar uma base), e já temos 2 matrizes independentes, precisamos encontrar mais 2 matrizes que, junto com 
  e 
 , continuem sendo independentes.
Uma estratégia é escolher matrizes que tenham pivôs em posições diferentes das de 
  e 
 . Vamos escolher:
Passo 4
Agora, vamos verificar se 
 , 
 , 
  e 
  são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear:
Isso dá:
$$
x
+
y
+
z
+
w
$$
Isso dá o sistema de equações:
- 
(elemento (1,1))  - 
(elemento (1,2))  - 
(elemento (2,1))  - 
(elemento (2,2))  
Resolvendo:
- Da equação 2: 
 - Da equação 1: 
 - Da equação 3: 
 
Então todas as variáveis são expressas em termos de 
 . Para que a única solução seja 
 , precisamos que 
 , o que implica 
 . Assim, as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Uma base de 
  que contém as matrizes dadas é: