Sejam 
  subespaços de um espaço vetorial 
 . Utilizando o Princípio da Indução Finita, prove que 
  é subespaço de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a interseção de vários subespaços de um espaço vetorial 
  também é um subespaço de 
 . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e o Princípio da Indução Finita. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como aplicar a indução para provar que a interseção de 
  subespaços é também um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço 
  de 
  deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: 
.  - Fechado para adição: Se 
, então .  - Fechado para multiplicação por escalar: Se 
e é um escalar, então .  
Agora, o Princípio da Indução Finita nos ajuda a provar algo para todo número natural 
 . Para usar a indução, precisamos verificar dois passos:
- Base da Indução: Mostrar que a afirmação vale para um caso inicial, geralmente 
.  - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação vale para 
e provar que ela também vale para .  
Passo 3
Base da Indução (
 ):
Quando temos apenas um subespaço 
 , a interseção 
  é simplesmente 
  mesmo. Sabemos que 
  é um subespaço de 
  por definição. Portanto, a base da indução está satisfeita.
Passo 4
Passo Indutivo:
Vamos supor que a interseção de 
  subespaços 
  seja um subespaço de 
 . Agora, precisamos mostrar que a interseção com mais um subespaço, ou seja, 
 , também é um subespaço de 
 .
Para isso, consideremos dois vetores qualquer na interseção: digamos 
  e 
  que pertencem a todos os 
 .
- 
Fechamento para adição:
pertence a cada , já que cada é um subespaço e, portanto, fechado para adição. Assim, pertence à interseção.  - 
Fechamento para multiplicação por escalar: Se
é um escalar e pertence a cada , então também pertence a cada , já que cada é fechado para multiplica��ão por escalar. Então, pertence à interseção.  
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a interseção 
  é um subespaço de 
 .
Resposta
Portanto, por indução finita, a interseção 
  é um subespaço de 
 .