Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que representa a sequência de transformações dadas:
a. Reflexào em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal.
b. Rotação de 30^{\circ} no sentido horário, seguido de uma duplicação dos módulos e inversão dos sentidos.
c. Rotação de 60^{\circ}, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, em cada item (a), (b) e (c), a matriz da transformação linear \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que resulta da sequência de duas transformações aplicadas uma após a outra. Lista do que é dado e o que se pede:
(a) Primeiro: reflexão em torno do eixo y. Depois: cisalhamento (shear) de fator 5 na direção horizontal. Pedir: matriz composta.
(b) Primeiro: rotação de 30^\circ no sentido horário. Depois: duplicação dos módulos e inversão dos sentidos. Pedir: matriz composta.
(c) Primeiro: rotação de 60^\circ (presumo sentido padrão anti-horário). Depois: reflexão em relação ao eixo y. Pedir: matriz composta.
Passo importante sobre notação de ordem: “seguida de” significa que a primeira transformação é aplicada primeiro e a segunda é aplicada em seguida. Em termos de matrizes, se a primeira tem matriz A e a segunda tem matriz B, a matriz total é B A (multiplicação de matrizes na ordem usual).
Passo 2
Vou lembrar e explicar as matrizes padrões que vou usar (cada uma vai ser derivecida ou justificada de forma simples).
Também lembro como compor: se aplico primeiro A e depois B, a matriz total é BA. Multiplicação de matrizes é feita linha por coluna; eu vou mostrar isso passo a passo em cada item.]
Passo 3
Transformações dadas: (i) reflexão em torno do eixo y (primeira) e (ii) cisalhamento horizontal de fator 5 (segunda).
Matriz da reflexão: F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Matriz do cisalhamento de fator 5: S_h(5)=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Como a reflexão é aplicada primeiro e depois o cisalhamento, a matriz composta é
M_a = S_h(5)\, F_y.
Vou calcular a multiplicação S_h(5)\,F_y manualmente. Escrevendo:
Aplicando a rotação primeiro e a escala depois, a matriz composta é
M_b = D\, R(-30^\circ).
Como D é apenas o escalar -2 multiplicando a matriz identidade, o produto é simplesmente multiplicar cada entrada de R(-30^\circ) por -2. Faço essa multiplicação: