1. Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que representa a sequência de transformações dadas:
    a. Reflexào em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal.
    b. Rotação de 30^{\circ} no sentido horário, seguido de uma duplicação dos módulos e inversão dos sentidos.
    c. Rotação de 60^{\circ}, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, em cada item (a), (b) e (c), a matriz da transformação linear \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que resulta da sequência de duas transformações aplicadas uma após a outra. Lista do que é dado e o que se pede:
  • (a) Primeiro: reflexão em torno do eixo y. Depois: cisalhamento (shear) de fator 5 na direção horizontal. Pedir: matriz composta.
  • (b) Primeiro: rotação de 30^\circ no sentido horário. Depois: duplicação dos módulos e inversão dos sentidos. Pedir: matriz composta.
  • (c) Primeiro: rotação de 60^\circ (presumo sentido padrão anti-horário). Depois: reflexão em relação ao eixo y. Pedir: matriz composta.
Passo importante sobre notação de ordem: “seguida de” significa que a primeira transformação é aplicada primeiro e a segunda é aplicada em seguida. Em termos de matrizes, se a primeira tem matriz A e a segunda tem matriz B, a matriz total é B A (multiplicação de matrizes na ordem usual).

Passo 2

Vou lembrar e explicar as matrizes padrões que vou usar (cada uma vai ser derivecida ou justificada de forma simples).
  1. Reflexão em torno do eixo y.
  • Efeito geométrico: (x,y)\mapsto(-x,y).
  • Matriz (colunas são as imagens de (1,0) e (0,1)):
F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida: a base canônica e_1=(1,0) vira (-1,0) (primeira coluna) e e_2=(0,1) fica (0,1) (segunda coluna).
  1. Cisalhamento (shear) horizontal de fator k.
  • Convenção adotada: cisalhamento horizontal com fator k envia (x,y)\mapsto(x + k y,\, y).
  • Matriz correspondente:
S_{h}(k)=\begin{pmatrix}1 & k \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Explicação: e_1=(1,0) fica (1,0) (primeira coluna) e e_2=(0,1) fica (k,1) (segunda coluna).
  1. Rotação no plano (sentido anti-horário) de ângulo \theta.
  • Fórmula padrão: para ângulo \theta (positiva = anti-horário),
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • Se a rotação for no sentido horário de \alpha, isso é rotação anti-horária de -\alpha: R_{\text{horário}}(\alpha)=R(-\alpha)á.
  1. Escala que duplica módulos e inverte sentidos.
  • “Duplicação dos módulos” significa multiplicar todos os vetores por 2 (escala isotrópica de fator 2).
  • “Inversão dos sentidos” significa multiplicar por -1. Juntando: multiplicar por -2.
  • Matriz:
D=(-2)I=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Explicação: é uma homotetia com razão -2.
Também lembro como compor: se aplico primeiro A e depois B, a matriz total é BA. Multiplicação de matrizes é feita linha por coluna; eu vou mostrar isso passo a passo em cada item.]

Passo 3

Transformações dadas: (i) reflexão em torno do eixo y (primeira) e (ii) cisalhamento horizontal de fator 5 (segunda).
  • Matriz da reflexão: F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Matriz do cisalhamento de fator 5: S_h(5)=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Como a reflexão é aplicada primeiro e depois o cisalhamento, a matriz composta é
M_a = S_h(5)\, F_y.
Vou calcular a multiplicação S_h(5)\,F_y manualmente. Escrevendo:
S_h(5)=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Produto M_a = S_h(5) F_y: cada entrada m_{ij} vem da soma dos produtos da i-ésima linha de S_h(5) pela j-ésima coluna de F_y.
  • Entrada (1,1): 1\cdot(-1) + 5\cdot 0 = -1.
  • Entrada (1,2): 1\cdot 0 + 5\cdot 1 = 5.
  • Entrada (2,1): 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 = 0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
Portanto
M_a=\begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Transformações dadas: (i) rotação de 30^\circ no sentido horário (primeira) e (ii) duplicação dos módulos e inversão dos sentidos (segunda).
  • Rotação de 30^\circ no sentido horário = rotação anti-horária de -30^\circ: R(-30^\circ). Usando valores trigonométricos conhecidos \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},
R(-30^\circ)=\begin{pmatrix}\cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ) \\[4pt] \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos 30^\circ & \sin 30^\circ \\[4pt] -\sin 30^\circ & \cos 30^\circ\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
  • Escala com razão -2: D=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Aplicando a rotação primeiro e a escala depois, a matriz composta é
M_b = D\, R(-30^\circ).
Como D é apenas o escalar -2 multiplicando a matriz identidade, o produto é simplesmente multiplicar cada entrada de R(-30^\circ) por -2. Faço essa multiplicação:
  • -2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}.
  • -2\cdot \tfrac{1}{2} = -1.
  • -2\cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1.
  • -2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}.
Logo
M_b=\begin{pmatrix}-\sqrt{3} & -1 \\[4pt] 1 & -\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Transformações dadas: (i) rotação de 60^\circ (primeira) e (ii) reflexão em relação ao eixo y (segunda).
  • Rotação de 60^\circ (anti-horária): com \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
R(60^\circ)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Reflexão em torno do eixo y:
F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando a rotação primeiro e a reflexão depois, a matriz composta é
M_c = F_y\, R(60^\circ).
Calculo o produto M_c = F_y R(60^\circ). Multiplicando:
F_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad R(60^\circ)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Entradas de M_c:
  • (1,1): (-1)\cdot \tfrac{1}{2} + 0\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • (1,2): (-1)\cdot \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) + 0\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • (2,1): 0\cdot \tfrac{1}{2} + 1\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • (2,2): 0\cdot \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) + 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
M_c=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

a.
\begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
b.
\begin{pmatrix}-\sqrt{3} & -1 \\[4pt] 1 & -\sqrt{3}\end{pmatrix}
c.
\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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