e pede: determinar uma matriz P que diagonalize \mathrm{A}.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz \mathrm{A} é uma matriz 3\times3 simétrica (os elementos fora da diagonal são espelhados).
O pedido é encontrar uma matriz P tal que P^{-1}\mathrm{A}P seja diagonal (ou, no caso simétrico, podemos escolher P ortogonal e então P^{T}\mathrm{A}P será diagonal).]
Passo 2
O que significa diagonalizar na prática (mini-aula):
Diagonalizar \mathrm{A} quer dizer encontrar uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de \mathrm{A}. Se v é autovetor associado ao autovalor \lambda, então \mathrm{A}v=\lambda v.
Se colocarmos os autovetores linearmente independentes como colunas de uma matriz P, então P^{-1}\mathrm{A}P é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes (na mesma ordem das colunas de P).
Para matrizes simétricas reais existe um resultado muito útil: sempre é possível escolher P ortogonal (ou seja, P^{-1}=P^{T}). Assim fica mais simples verificar a diagonalização usando P^{T}\mathrm{A}P.
Método que vamos aplicar: calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(\mathrm{A}-\lambda I)=0, em seguida calcular autovetores para cada autovalor e normalizá‑los para obter uma matriz ortogonal P.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico. Primeiro escrevemos \mathrm{A}-\lambda I e calculamos o determinante:
Agora calculamos autovetores resolvendo [(\mathrm{A}-\lambda I)v=0) para cada \lambda. Vou escolher uma incógnita livre quando conveniente para obter vetores inteiros simples.
Da primeira equação vem x=-y\]. Substituindo na segunda:
\[-2(-y)-3y-2z=0 \Rightarrow 2y-3y-2z=0 \Rightarrow -y-2z=0 \Rightarrow y=-2z.\]
Assim \[x=-y=2z. Tomando z=1 obtemos o autovetor
Normalização e construção de P (mini-aula sobre normalizar e ortogonalidade):
Para normalizar um vetor v calculamos sua norma \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} e tomamos u=v/\|v\|.
Se os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais (no caso de matriz simétrica isso ocorre), podemos normalizá‑los e obter uma matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores unitários. Então P^{T}\mathrm{A}P será diagonal com os autovalores na diagonal.
Então são ortogonais e, após normalização, formam uma base ortonormal: \{u_{3},u_{6},u_{9}\}.]
Passo 6
Montagem final da matriz P. Colocando os vetores unitários como colunas na ordem dos autovalores \lambda=3,6,9 (essa ordem faz com que a diagonal resultante seja \operatorname{diag}(3,6,9)), obtemos