1. Determine uma matriz P que diagonaliza a matriz simétrica \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & -2 & 0 \\\\ -2 & 6 & -2 \\\\ 0 & -2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}7 & -2 & 0 \\[4pt] -2 & 6 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 5\end{pmatrix}
e pede: determinar uma matriz P que diagonalize \mathrm{A}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz \mathrm{A} é uma matriz 3\times3 simétrica (os elementos fora da diagonal são espelhados).
  • O pedido é encontrar uma matriz P tal que P^{-1}\mathrm{A}P seja diagonal (ou, no caso simétrico, podemos escolher P ortogonal e então P^{T}\mathrm{A}P será diagonal).]

Passo 2

O que significa diagonalizar na prática (mini-aula):
  • Diagonalizar \mathrm{A} quer dizer encontrar uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de \mathrm{A}. Se v é autovetor associado ao autovalor \lambda, então \mathrm{A}v=\lambda v.
  • Se colocarmos os autovetores linearmente independentes como colunas de uma matriz P, então P^{-1}\mathrm{A}P é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes (na mesma ordem das colunas de P).
  • Para matrizes simétricas reais existe um resultado muito útil: sempre é possível escolher P ortogonal (ou seja, P^{-1}=P^{T}). Assim fica mais simples verificar a diagonalização usando P^{T}\mathrm{A}P.
    Método que vamos aplicar: calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(\mathrm{A}-\lambda I)=0, em seguida calcular autovetores para cada autovalor e normalizá‑los para obter uma matriz ortogonal P.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico. Primeiro escrevemos \mathrm{A}-\lambda I e calculamos o determinante:
\mathrm{A}-\lambda I=\begin{pmatrix}7-\lambda & -2 & 0 \\[4pt] -2 & 6-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante (expansão pela primeira linha) é
\begin{aligned} \det(\mathrm{A}-\lambda I) &=(7-\lambda)\det\begin{pmatrix}6-\lambda & -2 \\[4pt] -2 & 5-\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\[4pt] 0 & 5-\lambda\end{pmatrix} \\\ &=(7-\lambda)\big((6-\lambda)(5-\lambda)-4\big)+2\big(-2(5-\lambda)\big). \end{aligned}
Agora expandimos com calma:
(6-\lambda)(5-\lambda)=30-11\lambda+\lambda^{2},
então
(6-\lambda)(5-\lambda)-4=26-11\lambda+\lambda^{2}.
Multiplicando:
(7-\lambda)(26-11\lambda+\lambda^{2})=182-103\lambda+18\lambda^{2}-\lambda^{3}.
A segunda parcela é
2\big(-2(5-\lambda)\big)=-20+4\lambda.
Somando as duas partes obtemos
\det(\mathrm{A}-\lambda I)=-\lambda^{3}+18\lambda^{2}-99\lambda+162.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente principal positivo:
\lambda^{3}-18\lambda^{2}+99\lambda-162=0.
Testando raízes inteiras divisoras de 162, vemos que \lambda=3 é raiz. Fazendo divisão sintética (ou fatoração) obtemos:
\lambda^{3}-18\lambda^{2}+99\lambda-162=(\lambda-3)(\lambda^{2}-15\lambda+54).
A equação quadrática \lambda^{2}-15\lambda+54=0 tem discriminante 225-216=9, portanto raízes
\lambda=\frac{15\pm3}{2} \implies \lambda=9 \quad\text{ou}\quad \lambda=6.
Logo os autovalores (reais) são
\lambda_{1}=3,\qquad \lambda_{2}=6,\qquad \lambda_{3}=9.]

Passo 4

Agora calculamos autovetores resolvendo [(\mathrm{A}-\lambda I)v=0) para cada \lambda. Vou escolher uma incógnita livre quando conveniente para obter vetores inteiros simples.
Para \lambda=9:
\mathrm{A}-9I=\begin{pmatrix}-2 & -2 & 0 \\[4pt] -2 & -3 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & -4\end{pmatrix}.
As equações são
\begin{cases} -2x-2y=0,\\[4pt] -2x-3y-2z=0,\\[4pt] -2y-4z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=-y\]. Substituindo na segunda: \[-2(-y)-3y-2z=0 \Rightarrow 2y-3y-2z=0 \Rightarrow -y-2z=0 \Rightarrow y=-2z.\] Assim \[x=-y=2z. Tomando z=1 obtemos o autovetor
v_{9}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=6:
\mathrm{A}-6I=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\[4pt] -2 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & -1\end{pmatrix}.
As equações são
\begin{cases} x-2y=0,\\[4pt] -2x-2z=0,\\[4pt] -2y-z=0. \end{cases}
Da primeira vem x=2y\]. Da segunda vem \[-2(2y)-2z=0\Rightarrow -4y-2z=0\Rightarrow z=-2y. Tomando y=1 obtemos
v_{6}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Para \lambda=3:
\mathrm{A}-3I=\begin{pmatrix}4 & -2 & 0 \\[4pt] -2 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 2\end{pmatrix}.
As equações são
\begin{cases} 4x-2y=0,\\[4pt] -2x+3y-2z=0,\\[4pt] -2y+2z=0. \end{cases}
Da primeira vem y=2x\]. Da terceira vem \(2z=2y\Rightarrow z=y=2x. Tomando x=1 obtemos
v_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Resumo dos autovetores (não normalizados):
v_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad v_{6}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{9}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Normalização e construção de P (mini-aula sobre normalizar e ortogonalidade):
  • Para normalizar um vetor v calculamos sua norma \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} e tomamos u=v/\|v\|.
  • Se os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais (no caso de matriz simétrica isso ocorre), podemos normalizá‑los e obter uma matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores unitários. Então P^{T}\mathrm{A}P será diagonal com os autovalores na diagonal.
Vamos normalizar cada vetor. As normas são:
\|v_{3}\|^{2}=1^{2}+2^{2}+2^{2}=9\Rightarrow \|v_{3}\|=3,
\|v_{6}\|^{2}=2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}=9\Rightarrow \|v_{6}\|=3,
\|v_{9}\|^{2}=2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}=9\Rightarrow \|v_{9}\|=3.
Portanto os vetores unitários (colunas de P) são
u_{3}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad u_{6}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad u_{9}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação rápida de ortogonalidade (produto interno):
u_{3}\cdot u_{6}=\frac{1}{9}(1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-2))=\frac{1}{9}(2+2-4)=0,
u_{3}\cdot u_{9}=\frac{1}{9}(1\cdot2+2\cdot(-2)+2\cdot1)=\frac{1}{9}(2-4+2)=0,
u_{6}\cdot u_{9}=\frac{1}{9}(2\cdot2+1\cdot(-2)+(-2)\cdot1)=\frac{1}{9}(4-2-2)=0.
Então são ortogonais e, após normalização, formam uma base ortonormal: \{u_{3},u_{6},u_{9}\}.]

Passo 6

Montagem final da matriz P. Colocando os vetores unitários como colunas na ordem dos autovalores \lambda=3,6,9 (essa ordem faz com que a diagonal resultante seja \operatorname{diag}(3,6,9)), obtemos
P=\begin{pmatrix} u_{3} & u_{6} & u_{9} \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -2\\[4pt] 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Por construção P é ortogonal e diagonaliza \mathrm{A}, isto é,
P^{T}\mathrm{A}P=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 9\end{pmatrix}.]

Resposta

P=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -2\\[4pt] 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

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