Determinar para cada fonte de tensão:
Dados:
v_{1}=30 \operatorname{sen}\left(\omega t+10^{\circ}\right) v
v_{2}=20 \operatorname{sen}\left(\omega t+50^{\circ}\right) v
a) Tensão máxima ( V_{\text {máx }}á ), pico a pico \left(V_{P P}\right) e eficaz ( \mathrm{V}_{\text {RMS }} ) [R. \mathbf{V}_{1}(30 \mathbf{V}, 60 V e 21,21 \mathrm{~V} ) e \mathrm{V}_{2}(20 \mathrm{~V}, 40 \mathrm{~V} e 14,14 \mathrm{~V})] b) Ângulo de fase em graus e radianos \(\left[\mathrm{R} . \mathrm{V}_{1}\left(10^{\circ}\right. e \left.0,174 \mathrm{rad}\right) e \mathrm{V}_{2}\left(50^{\circ}\right. e \left.\left.0,872 \mathrm{rad}\right)\right] c) Representação no domínio da frequência (fasorial) [R: \(\left.\mathbf{V}_{1}=\mathbf{3 0} \boldsymbol{\angle} \mathbf{1 0}^{\circ} \mathbf{V} \in \mathbf{V}_{\mathbf{2}}=\mathbf{2 0} \boldsymbol{\angle} \mathbf{5 0}^{\circ} \mathbf{V}\right] d) Qual tensão está adiantada em relação a outra?[R. \quad \mathbf{V}_{2} está adiantada em relação a \mathrm{V}_{1} ])

Passo 1

O enunciado dá duas fontes senoidais e pede várias coisas para cada uma. Os dados são:
v_{1}(t)=30\operatorname{sen}\!\bigl(\omega t+10^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{V}
v_{2}(t)=20\operatorname{sen}\!\bigl(\omega t+50^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{V}
As perguntas são:
  1. (a) Determinar para cada fonte a tensão máxima V_{\text{máx}}á, a tensão pico a pico V_{PP} e a eficaz (RMS) V_{\text{RMS}}.
  2. (b) Determinar o ângulo de fase em graus e em radianos.
  3. (c) Representação no domínio da frequência (fasorial) das tensões.
  4. (d) Indicar qual tensão está adiantada em relação à outra (e, se útil, pela diferença de fase).

Passo 2

Entendendo o que é amplitude (máxima), pico a pico e RMS — e como calcular:
  • A forma geral é v(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi). Aqui A é a amplitude (valor máximo positivo). Ou seja, por definição: V_{\text{máx}}=A.áNo nosso caso A já aparece na expressão de cada seno.
  • A tensão pico a pico é a diferença entre o pico máximo e o pico mínimo. Para um seno simétrico isso vale: V_{PP}=2A.
  • A tensão eficaz (RMS) de uma senóide de amplitude A é dada por V_{\text{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\bigr)^{2} dt }.Vamos mostrar rapidamente a simplificação dessa integral (é bom saber para a prova): V_{\text{RMS}}=A\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)\,dt }.Usando a identidade \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2} e que a média de \cos(2x) sobre um período é zero, obtemos V_{\text{RMS}}=A\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1}{2}\,dt }=A\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}.Então a fórmula prática (muito usada em prova) é: V_{\text{RMS}}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos sinais dados:
  • Para v_{1}(t)=30\operatorname{sen}(\omega t+10^{\circ}): V_{\text{máx}_1}=A_{1}=30\\ \mathrm{V}.á
V_{PP_1}=2A_{1}=2\cdot 30=60\\ \mathrm{V}.
V_{\text{RMS}_1}=\frac{A_{1}}{\sqrt{2}}=\frac{30}{\sqrt{2}}.
Calculemos \dfrac{30}{\sqrt{2}}. Sabendo que \sqrt{2}\approx 1,4142,
V_{\text{RMS}_1}\approx \frac{30}{1,4142}\approx 21,213\\ \mathrm{V}.
Arredondando conforme o enunciado: 21,21\\ \mathrm{V}.
  • Para v_{2}(t)=20\operatorname{sen}(\omega t+50^{\circ}): V_{\text{máx}_2}=A_{2}=20\\ \mathrm{V}.á
V_{PP_2}=2A_{2}=2\cdot 20=40\\ \mathrm{V}.
V_{\text{RMS}_2}=\frac{A_{2}}{\sqrt{2}}=\frac{20}{\sqrt{2}}\approx \frac{20}{1,4142}\approx 14,142\\ \mathrm{V}.
Arredondando: 14,14\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Ângulo de fase: o termo dentro do seno do tipo \omega t+\varphi indica que \varphi é a fase em graus (no enunciado já está em graus). Para passar para radianos usamos a conversão
\text{rad}=\text{graus}\times\frac{\pi}{180}.
  • Para v_{1}: \varphi_{1}=10^{\circ}. Convertendo:
    \varphi_{1}=10^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{10\pi}{180}=\frac{\pi}{18}\\ \text{rad}\approx 0,1745329\\ \text{rad}.
    Arredondando: 0,174\\ \text{rad}.
  • Para v_{2}: \varphi_{2}=50^{\circ}. Convertendo:
    \varphi_{2}=50^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{50\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\\ \text{rad}\approx 0,8726646\\ \text{rad}.
    Arredondando: 0,872\\ \text{rad}.

Passo 5

Representação fasorial (domínio da frequência):
  • Um seno A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) pode ser representado por um fasor (vetor complexo) com magnitude igual à amplitude A (ou à RMS, se preferirmos trabalhar em valores eficazes) e ângulo \varphi. A notação usual é A\angle \varphi.
  • Usando amplitude de pico (como no gabarito informado): \mathbf{V}_{1}=30\angle 10^{\circ}\\ \mathrm{V}, \qquad \mathbf{V}_{2}=20\angle 50^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  • Observação útil: se quisermos os fasores em valores RMS, basta dividir as magnitudes por \sqrt{2}: \mathbf{V}_{1\,(rms)}=21,21\angle 10^{\circ}\\ \mathrm{V}, \qquad \mathbf{V}_{2\,(rms)}=14,14\angle 50^{\circ}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Qual tensão está adiantada (lead) em relação à outra?
  • Comparo os ângulos: \varphi_{2}=50^{\circ} e \varphi_{1}=10^{\circ}.
  • Diferença de fase: \Delta\varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=50^{\circ}-10^{\circ}=40^{\circ}.Em radianos: \Delta\varphi=40^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\\ \text{rad}\approx 0,698\\ \text{rad}.
  • Como \Delta\varphi>0, isto significa que \mathbf{V}_{2} está adiantada (lead) em relação a \mathbf{V}_{1} por 40^{\circ} (ou 0,698\\ \text{rad}). Dica prática para prova: basta comparar os ângulos — maior ângulo = adianta.

Resposta

a) V_{1}: V_{\text{máx}}=30\\ \mathrm{V},\\ V_{PP}=60\\ \mathrm{V},\\ V_{\text{RMS}}=21,21\\ \mathrm{V}á \n
V_{2}: V_{\text{máx}}=20\\ \mathrm{V},\\ V_{PP}=40\\ \mathrm{V},\\ V_{\text{RMS}}=14,14\\ \mathrm{V}á \n
b) V_{1}: 10^{\circ} e 0,174\\ \mathrm{rad} \n
V_{2}: 50^{\circ} e 0,872\\ \mathrm{rad} \n
c) \mathbf{V}_{1}=30\angle 10^{\circ}\\ \mathrm{V} e \mathbf{V}_{2}=20\angle 50^{\circ}\\ \mathrm{V} \n
d) \mathbf{V}_{2} está adiantada em relação a \mathbf{V}_{1} por 40^{\circ} (aprox. 0,698\\ \mathrm{rad})

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