O valor eficaz da tensão senoidal na tomada de uma residência em Rio Grande é 127 V . Qual é o valor máximo da tensão na tomada? [R. 179,60 V]

Passo 1

O enunciado dá a tensão eficaz (valor RMS) da tomada e pede o valor máximo (pico) da tensão.
Informações fornecidas:
\text{Tensão eficaz: } V_{\text{eficaz}} = 127\\ \text{V}.ã
Pergunta a responder:
\text{Qual é o valor máximo } V_{\text{max}} \text{ da tensão senoidal?}éáã

Passo 2

Vamos entender o que é a tensão senoidal instantânea e o que significa “valor eficaz”.
Considere uma tensão senoidal descrita por
v(t)=V_{\text{max}}\sin(\omega t),
onde:
  • \,v(t)\, é a tensão naquele instante t,
  • \,V_{\text{max}}\, é a amplitude (valor máximo) que queremos achar,
  • \,\omega\, é a pulsação da onda (não precisamos do seu valor aqui).
O valor eficaz (RMS, do inglês Root Mean Square) de uma função periódica v(t) é definido como
V_{\text{eficaz}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [v(t)]^{2}\,dt},
onde \,T\, é o período da função. Em palavras: você eleva ao quadrado, faz a média no tempo durante um período e depois tira a raiz quadrada. Isso dá uma medida “efetiva” da tensão para efeitos de potência.

Passo 3

Aplicando a definição ao seno:
V_{\text{eficaz}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \big(V_{\text{max}}\sin(\omega t)\big)^{2}\,dt} =\sqrt{\frac{V_{\text{max}}^{2}}{T}\int_{0}^{T} \sin^{2}(\omega t)\,dt}.
Agora usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}(\theta)=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\theta)\big).
Substituindo:
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\int_{0}^{T}\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\omega t)\big)\,dt =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{T}1\,dt-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt.
A primeira integral é \tfrac{1}{2}T. A segunda integral é zero porque \cos(2\omega t) completa um número inteiro de ciclos em um período T. Logo
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\tfrac{1}{2}T.
Substituindo de volta no RMS:
V_{\text{eficaz}}=\sqrt{\frac{V_{\text{max}}^{2}}{T}\cdot \tfrac{1}{2}T} =\sqrt{\tfrac{1}{2}V_{\text{max}}^{2}} =\frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}.
Portanto, há uma relação simples entre valor eficaz e valor de pico:
V_{\text{eficaz}}=\frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Da relação anterior isolamos V_{\text{max}}:
V_{\text{max}}=V_{\text{eficaz}}\sqrt{2}.
Agora substituímos o valor dado no enunciado \,V_{\text{eficaz}}=127\\ \text{V}\,:
V_{\text{max}}=127\sqrt{2}\\ \text{V}.

Passo 5

Vamos calcular numericamente usando uma aproximação conveniente para \sqrt{2}. Tome \sqrt{2}\approx 1,4142. Então
V_{\text{max}}\approx 127\times 1,4142.
Fazendo a multiplicação:
127\times 1,4142 = 179,6034\\ \text{V}.
Arredondando para duas casas decimais obtemos 179{,}60\\ \text{V}.

Resposta

179{,}60\\ \text{V}

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