Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r_{1} e r_{2} :
\quad r_{1}:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x-10\end{array} \quad\right. e \quad r_{2}: x=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2}

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção, se existir, das retas em \mathbb{R}^3
r_{1}:\begin{cases} y=2x-3,\\\ z=-x-10, \end{cases} \qquad r_{2}:\;x=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2}.
O conteúdo aqui é interseção de retas em 3D, que faremos parametrizando cada reta e igualando coordenadas.

Passo 2

Parametrizamos r_{1} por um parâmetro t. Basta tomar x=t; então
x=t,\quad y=2t-3,\quad z=-t-10.

Passo 3

Parametrizamos r_{2} por um parâmetro s. Da forma simétrica \;x=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2}, temos
x=s,\quad y=3s+4,\quad z=-2s-1.

Passo 4

Para haver interseção, deve existir t,s\) tais que \[(t,\;2t-3,\;-t-10)\;=\;(s,\;3s+4,\;-2s-1).
Isto gera o sistema
\begin{cases} t=s,\\\\ 2t-3=3s+4,\\\\ -t-10=-2s-1. \end{cases}
Da primeira equação t=s\]. Substituindo na segunda: \[2s-3=3s+4 \;\Longrightarrow\;-s=7 \;\Longrightarrow\;s=-7,\] logo \(t=-7.

Passo 5

Verificamos a terceira equação com t=s=-7:
-t-10 = -(-7)-10 = 7-10 = -3, \qquad -2s-1 = -2(-7)-1 = 14-1 = 13.
Como -3\neq13, não há solução comum.

Resposta

Não existe ponto de interseção entre r_{1} e r_{2}.

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