Seja V=\mathcal{S}_{2} o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
\alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \quad \text { e } \beta=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
duas bases ordenadas de V.
(a) Determine [I]_{\alpha}^{\beta}.
(b) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(c) Encontre v tal que [I]_{\alpha}^{\beta} \cdot[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathcal{S}_{2} das matrizes simétricas 2\times2 e duas bases ordenadas
\alpha=\{A_{1},A_{2},A_{3}\} \quad\text{e}\quad \beta=\{B_{1},B_{2},B_{3}\},
onde
A_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; A_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; A_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
B_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; B_{2}=\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix},\; B_{3}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Precisamos:
(a) o matrix de mudança de coordenadas [I]_{\alpha}^{\beta} que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta;
(b) [I]_{\beta}^{\alpha}, o inverso de (a);
(c) achar v\in V tal que
[I]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

Para obter [I]_{\alpha}^{\beta}, note que a coluna i é justamente as coordenadas de A_{i} em relação à base \beta. Ou seja, para cada i resolvemos
c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3}=A_{i},
e colocamos \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr)^{T} como coluna i.

Passo 3

Resolvendo para cada [A_{i}):
  1. i=1: A_{1}=B_{1}. Logo (c_{1},c_{2},c_{3})=(1,0,0).
  2. i=2: queremos
c_{1}\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix} +c_{3}\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Das entradas diagonais e fora da diagonal obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\\\ -c_{2}+c_{3}=1,\\\ c_{3}=0. \end{cases}
Dessa forma c_{3}=0\], \[-c_{2}=1\Rightarrow c_{2}=-1, c_{1}-1=0\Rightarrow c_{1}=1. Logo coluna 2 é (1,-1,0)^{T}.
  1. i=3: queremos
c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Do sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\\\ -c_{2}+c_{3}=0,\\\ c_{3}=1, \end{cases}
vem c_{3}=1\], \(-c_{2}+1=0\Rightarrow c_{2}=1, c_{1}+1=0\Rightarrow c_{1}=-1. Coluna 3 é (-1,1,1)^{T}.

Passo 4

Reunindo as colunas, temos
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

O matrix [I]_{\beta}^{\alpha} é o inverso de [I]_{\alpha}^{\beta}. Invertendo \begin{pmatrix}1&1&-1\\\ 0&-1&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} por fórmulas para matriz triangular, obtemos
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(notas: verificável também expressando cada B_{j} na base \alpha.)

Passo 6

Para (c) precisamos [I]_{\alpha}^{\beta}\,x = (-1,1,0)^{T}\). Seja \(x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\). Das equações em cascata: \[\begin{cases} x_{3}=0,\\\\ -\,x_{2}+x_{3}=1\Rightarrow x_{2}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1\Rightarrow x_{1}=0. \end{cases}
Logo ([v]_{\beta}=(0,-1,0)^{T}], ou seja
v=0\cdot B_{1}-1\cdot B_{2}+0\cdot B_{3} =-\,B_{2} = -\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle [I]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(c) \displaystyle v=-B_{2} =\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.

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