duas bases ordenadas de V.
(a) Determine [I]_{\alpha}^{\beta}.
(b) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(c) Encontre v tal que [I]_{\alpha}^{\beta} \cdot[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathcal{S}_{2} das matrizes simétricas 2\times2 e duas bases ordenadas
Precisamos:
(a) o matrix de mudança de coordenadas [I]_{\alpha}^{\beta} que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta;
(b) [I]_{\beta}^{\alpha}, o inverso de (a);
(c) achar v\in V tal que
O matrix [I]_{\beta}^{\alpha} é o inverso de [I]_{\alpha}^{\beta}. Invertendo \begin{pmatrix}1&1&-1\\\ 0&-1&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} por fórmulas para matriz triangular, obtemos
(notas: verificável também expressando cada B_{j} na base \alpha.)
Passo 6
Para (c) precisamos [I]_{\alpha}^{\beta}\,x = (-1,1,0)^{T}\). Seja \(x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\). Das equações em cascata:
\[\begin{cases} x_{3}=0,\\\\ -\,x_{2}+x_{3}=1\Rightarrow x_{2}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1\Rightarrow x_{1}=0. \end{cases}
Logo ([v]_{\beta}=(0,-1,0)^{T}], ou seja v=0\cdot B_{1}-1\cdot B_{2}+0\cdot B_{3} =-\,B_{2} = -\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.