Determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção na lateral de um forno, considerando a parede externa como uma placa plana vertical.
A parede do forno encontra-se a uma temperatura constante de 87^{\circ} \mathrm{C}, possuindo 46 cm de altura e 38 cm de profundidade, estando exposta ao ar ambiente à temperatura \mathrm{X}^{\circ} \mathrm{C}, onde X corresponde aos dois primeiros dígitos do número de matrícula do estudante.
O fluido envolvente é o ar atmosférico, e suas propriedades termofísicas devem ser avaliadas na temperatura de filme, definida como a média entre a temperatura da superfície da parede e a temperatura do ambiente.
O coeficiente de transferência de calor por convecção deverá ser determinado para duas situações distintas:
Convecção forçada, considerando a incidência de um escoamento de ar proveniente de ventilação sobre a superfície da placa, com velocidade variando entre 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Convecção natural, na qual o movimento do ar ocorre exclusivamente devido às diferenças de densidade provocadas pela variação de temperatura entre a parede do forno e o ambiente, sem a presença de ventilação externa.
Para ambas as condições, deverão ser utilizadas correlações adequadas da literatura para placas verticais, com identificação do regime de escoamento e apresentação dos valores obtidos para o coeficiente de convecção.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei todos esses dados do enunciado):
Determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção h na face lateral vertical do forno para duas situações:
Convecção forçada: escoamento de ar sobre a placa com velocidade U variando entre 0,8\\ \mathrm{m/s} e 1,2\\ \mathrm{m/s}.
Convecção natural: movimento do ar só por diferenças de densidade (nenhuma ventilação).
Dados geométricos da placa (parede externa do forno):
Temperatura da superfície: T_s = 87^\circ\mathrm{C}.
Altura (característica para placa vertical): L = 0{,}46\\ \mathrm{m}.
Profundidade/largura: W = 0{,}38\\ \mathrm{m} (informação útil se precisar da área total, mas para os coeficientes típicos de placa usamos L como comprimento característico).
Temperatura do ambiente: T_\infty = X^\circ\mathrm{C}, onde X é composta pelos dois primeiros dígitos da matrícula — este valor não foi fornecido por você.
Vou manter X simbólico nas fórmulas para que você possa substituir sua matrícula.
Além disso eu vou mostrar um cálculo numérico de exemplo usando X=25^\circ\mathrm{C} (valor ilustrativo muito comum). Você poderá repetir os passos numéricos substituindo X pelo seu valor.
Observação mandatória: as propriedades do ar devem ser avaliadas na temperatura de filmeT_f = \frac{T_s + T_\infty}{2}.
Objetivo imediato: apresentar as correlações adequadas, explicar passo a passo como escolher o regime e como calcular h, e mostrar um exemplo numérico completo.
Passo 2
Resumo das correlações que vamos usar (explicadas didaticamente):
Para convecção forçada sobre uma placa plana (escoamento paralelo ao plano da placa), o número de Reynolds que controla o regime é\mathrm{Re}_L = \frac{U L}{\nu},onde U é a velocidade livre, L é o comprimento característico (aqui L=0{,}46\\ \mathrm{m}) e \nu é a viscosidade cinemática do ar avaliada em T_f.
Regra prática: trânsito laminar até \mathrm{Re}_L \approx 5\times10^{5}. Se \mathrm{Re}_L<5\times10^{5} usa-se a correlação laminar; se \mathrm{Re}_L maior, usar correlação para turbulento (ou mistura).
Correlações úteis (média de Nusselt sobre a placa de comprimento L):
Laminar (corr. clássica para placa com temperatura de superfície constante):\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Turbulento (quando aplicável; normalmente para \mathrm{Re}_L\gtrsim5\times10^{5}):\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Depois de obter \overline{\mathrm{Nu}}_L, calcula-seh = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L},onde k é a condutividade térmica do ar em T_f.
Para convecção natural em placa vertical usamos uma correlação geral e robusta (Churchill–Chu), válida em ampla faixa:\overline{\mathrm{Nu}}_L \;=\; 0{,}68 \;+\; \dfrac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}},onde o número de Rayleigh é\mathrm{Ra}_L \;=\; \mathrm{Gr}_L\,\mathrm{Pr} \;=\; \dfrac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^{3}}{\nu\,\alpha},com g aceleração da gravidade, \beta coeficiente de expansão térmica do fluido (para gás ideal \beta \approx 1/T_f em K^{-1}), \alpha difusividade térmica e \nu viscosidade cinemática; \mathrm{Pr}=\nu/\alpha.
Comentário prático sobre escolha de correlações: para os valores de velocidade informados (0{,}8 a 1{,}2\\ \mathrm{m/s}) a tendência é \mathrm{Re}_L ser baixo (escoamento laminar) porque L é pequena; explicarei e calcularei isso na parte numérica. Para natural usamos Churchill–Chu que abrange laminar e transição.
Passo 3
Como avaliar propriedades do ar em T_f (passo prático — explicação didática):
Passo B: propriedades necessárias e fórmulas práticas (valores a usar avaliados em T_f):
Viscosidade dinâmica \mu (Sutherland):\mu(T) = 1{,}458\times 10^{-6}\,\dfrac{T^{3/2}}{T+110{,}4}\quad(\mathrm{Pa\cdot s}),\quad T\text{ em K}.Esta fórmula é padrão para o ar e dá \mu com boa precisão.
Condutividade térmica k: varia pouco com T; para cálculos práticos usa-se um valor aproximado em torno de k\approx 0{,}026\text{–}0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} dependendo de T_f. Vou usar k avaliado em T_f; se quiser precisão extrema, consulte tabela/Software.
Capacidade térmica c_p do ar: c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (praticamente constante em nossa faixa).
Coeficiente de expansão térmica (gás ideal):\beta \approx \frac{1}{T_f}\quad(\mathrm{K^{-1}}).
Observação didática: muitas propriedades dependem de T_f; portanto calcule T_f primeiro e depois todas as propriedades. Eu vou usar essas fórmulas no exemplo numérico.
Passo 4
Procedimento para a convecção forçada (passo a passo que você deve aplicar na prova):
Calcule T_f e converta para K.
Calcule \mu(T_f) com Sutherland, depois \rho, \nu, k, c_p, \alpha e \mathrm{Pr}.
Para cada velocidade U (aqui 0{,}8 e 1{,}2\\ \mathrm{m/s}) calcule\mathrm{Re}_L = \frac{U L}{\nu}.
Compare \mathrm{Re}_L com 5\times10^{5}:
Se \mathrm{Re}_L<5\times10^{5} use a correlação laminar\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Se \mathrm{Re}_L\gtrsim5\times10^{5} (região turbulenta) use\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Em transição, use mistura ponderada (mas normalmente para esta L e baixas U não há transição).
Finalmente, o coeficiente de convecção médio sobre a altura L:h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Passo 5
Procedimento para a convecção natural (passo a passo que você deve aplicar na prova):
Com T_f calcule \mu,\rho,\nu,\alpha,\mathrm{Pr},\beta como no Passo 3.
Calcule \Delta T = T_s - T_\infty (em K; diferença em °C e K é numericamente igual).
Calcule o número de Rayleigh:\mathrm{Ra}_L = \dfrac{g\,\beta\,\Delta T\,L^{3}}{\nu\,\alpha}.
Avalie a correlação Churchill–Chu para \overline{\mathrm{Nu}}_L:\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}68 + \dfrac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}}.
Esta fórmula é prática porque funciona bem em ampla faixa de \mathrm{Ra}_L (inclui laminar e começo de transição).
Calculeh = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Determine o regime de convecção natural pensando em \mathrm{Ra}_L:
\mathrm{Ra}_L \lesssim 10^{9} indica regime laminarligeiro a moderado; acima disso pode ocorrer transição/turbulência.
Passo 6
Cálculo numérico exemplo (ilustrativo) usando X=25^\circ\mathrm{C}. Faço este exemplo completo para você ver exatamente os números e poder replicar trocando X.
Coeficiente de expansão:\beta \approx \frac{1}{T_f} \approx \frac{1}{329{,}15}\approx 3{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Convecção forçada — cálculo de \mathrm{Re}_L, regime e h
Para U=0{,}8\\ \mathrm{m/s}:\mathrm{Re}_L=\frac{0{,}8\cdot0{,}46}{1{,}85\times10^{-5}}\approx 1{,}99\times10^{4}.
Para U=1{,}2\\ \mathrm{m/s}:\mathrm{Re}_L=\frac{1{,}2\cdot0{,}46}{1{,}85\times10^{-5}}\approx 2{,}99\times10^{4}.
Ambos os valores estão muito abaixo de 5\times10^{5}, portanto regime laminar na placa e usamos\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Para U=0{,}8\\ \mathrm{m/s}:\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 85{,}2 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{85{,}2\cdot0{,}027}{0{,}46}\approx 5{,}00\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Para U=1{,}2\\ \mathrm{m/s}:\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 104{,}1 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{104{,}1\cdot0{,}027}{0{,}46}\approx 6{,}11\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Convecção natural — cálculo de \mathrm{Ra}_L, \overline{\mathrm{Nu}}_L e h
Diferença de temperatura:\Delta T = T_s - T_\infty = 87 - 25 = 62\\ \mathrm{K}.
Rayleigh:\mathrm{Ra}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^{3}}{\nu\,\alpha} \approx \frac{9{,}81\cdot3{,}04\times10^{-3}\cdot62\cdot(0{,}46)^{3}}{(1{,}85\times10^{-5})(2{,}50\times10^{-5})} \approx 3{,}9\times10^{8}.(valor na faixa de convecção natural laminar a moderada).
Interpretação final e instruções para você aplicar com seu X:
Eu deixei todas as fórmulas e o passo a passo completo: para obter os resultados para a sua matrícula substitua T_\infty=X na expressãoT_f=\frac{87+X}{2},calcule as propriedades do ar seguindo o Passo 3 (usar Sutherland para \mu, depois \rho,\nu,\alpha,\mathrm{Pr}), e então siga os Passos 4 e 5 para calcular h nos casos forçado (para U=0{,}8 e 1{,}2\\ \mathrm{m/s}) e natural.
Como referência numérica (caso seu X seja próximo de 25^\circ\mathrm{C}), os valores calculados no exemplo são: