Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
\begin{aligned} & v_{1}-v_{4}+v_{5}=0 \\\ & v_{2}-v_{5}+v_{6}=0 \\\ & v_{3}-v_{6}+v_{7}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá três equações (relações lineares) entre vetores v_{1},\dots,v_{7} e pede que determinemos quais dessas equações formam conjuntos linearmente independentes ou dependentes. As equações fornecidas são:
\begin{aligned} & (1)\quad v_{1}-v_{4}+v_{5}=0,\\[4pt] & (2)\quad v_{2}-v_{5}+v_{6}=0,\\[4pt] & (3)\quad v_{3}-v_{6}+v_{7}=0. \end{aligned}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há três relações lineares distintas envolvendo os vetores v_{1},\dots,v_{7}.
  • Cada relação pode ser vista como um vetor de coeficientes (na lista (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7})).
  • A tarefa é verificar se existe alguma combinação linear não-trivial dessas três relações que produza a relação zero (ou seja, se elas são linearmente dependentes) ou se só a combinação trivial anula tudo (independência).]

Passo 2

Como testar independência de relações lineares: cada equação pode ser identificada com o vetor dos coeficientes que aparecem na combinação dos v_i. Duas observações importantes e didáticas:
  • Interpretar uma equação como o vetor de coeficientes significa que estamos trabalhando no espaço \mathbb{F}^{7} (campo \mathbb{F} genérico) onde cada coordenada corresponde ao coeficiente do vetor v_i.
  • Três relações são linearmente independentes quando a única solução da combinação
\alpha(1)+\beta(2)+\gamma(3)=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Aqui 0 é o vetor nulo em \mathbb{F}^{7}.

Passo 3

Escrever explicitamente os vetores de coeficientes correspondentes às equações na ordem (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7}):
\begin{aligned} r_{1} &= (1,\,0,\,0,\,-1,\,1,\,0,\,0),\\[4pt] r_{2} &= (0,\,1,\,0,\,0,\,-1,\,1,\,0),\\[4pt] r_{3} &= (0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,-1,\,1). \end{aligned}]

Passo 4

Formular a condição de dependência: procurar escalares \alpha,\beta,\gamma não todos nulos tais que
\alpha r_{1}+\beta r_{2}+\gamma r_{3}=(0,0,0,0,0,0,0).
Escrevendo isso coordenada a coordenada (cada coordenada corresponde ao coeficiente de um v_i) obtemos o sistema
\begin{aligned} &\text{coord. }v_{1}:\quad \alpha=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{2}:\quad \beta=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{3}:\quad \gamma=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{4}:\quad -\alpha=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{5}:\quad \alpha-\beta=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{6}:\quad \beta-\gamma=0,\\[4pt] &\text{coord. }v_{7}:\quad \gamma=0. \end{aligned}]

Passo 5

Resolver o sistema coordenada a coordenada:
  • Das coordenadas de v_{1},v_{2},v_{3} obtemos imediatamente \alpha=0, \beta=0, \gamma=0.
  • As demais equações ( -\alpha=0, \alpha-\beta=0, \beta-\gamma=0, \gamma=0) são consistentes com \alpha=\beta=\gamma=0 e não introduzem solução não-trivial adicional.
Portanto a única solução para \alpha,\beta,\gamma é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 6

Interpretação final e consequência importante (didática): como a única combinação linear que anula os vetores de coeficientes é a trivial, os três vetores r_{1},r_{2},r_{3} são linearmente independentes em \mathbb{F}^{7}. Isso significa que as três equações dadas são linearmente independentes entre si. Uma propriedade útil que uso aqui: qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente; logo quaisquer pares e cada equação isolada também são linearmente independentes. (A convenção padrão considera a família vazia como linearmente independente.)

Resposta

As três equações são linearmente independentes. Portanto quaisquer subconjuntos não vazios dessas equações também são linearmente independentes.

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