Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
Passo 1
O enunciado dá três equações (relações lineares) entre vetores
e pede que determinemos quais dessas equações formam conjuntos linearmente independentes ou dependentes. As equações fornecidas são:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há três relações lineares distintas envolvendo os vetores
. - Cada relação pode ser vista como um vetor de coeficientes (na lista
). - A tarefa é verificar se existe alguma combinação linear não-trivial dessas três relações que produza a relação zero (ou seja, se elas são linearmente dependentes) ou se só a combinação trivial anula tudo (independência).]
Passo 2
Como testar independência de relações lineares: cada equação pode ser identificada com o vetor dos coeficientes que aparecem na combinação dos
. Duas observações importantes e didáticas:
- Interpretar uma equação como o vetor de coeficientes significa que estamos trabalhando no espaço
(campo genérico) onde cada coordenada corresponde ao coeficiente do vetor . - Três relações são linearmente independentes quando a única solução da combinação
é
. Aqui
é o vetor nulo em
.
Passo 3
Escrever explicitamente os vetores de coeficientes correspondentes às equações na ordem
:
Passo 4
Formular a condição de dependência: procurar escalares
não todos nulos tais que
Escrevendo isso coordenada a coordenada (cada coordenada corresponde ao coeficiente de um
) obtemos o sistema
Passo 5
Resolver o sistema coordenada a coordenada:
- Das coordenadas de
obtemos imediatamente , , . - As demais equações (
, , , ) são consistentes com e não introduzem solução não-trivial adicional.
Portanto a única solução para
é a solução trivial
.
Passo 6
Interpretação final e consequência importante (didática): como a única combinação linear que anula os vetores de coeficientes é a trivial, os três vetores
são linearmente independentes em
. Isso significa que as três equações dadas são linearmente independentes entre si. Uma propriedade útil que uso aqui: qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente; logo quaisquer pares e cada equação isolada também são linearmente independentes. (A convenção padrão considera a família vazia como linearmente independente.)
Resposta
As três equações são linearmente independentes. Portanto quaisquer subconjuntos não vazios dessas equações também são linearmente independentes.