Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
\begin{aligned} & -i_{1}-i_{4}+i_{5}+i_{6}=0 \\\ & i_{1}+i_{4}=0 \\\ & -i_{3}-i_{5}-i_{6}=0 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar se o conjunto formado pelas três equações dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
Informações fornecidas (as três equações do enunciado):
\begin{aligned} &-i_{1}-i_{4}+i_{5}+i_{6}=0,\\\ &i_{1}+i_{4}=0,\\\ &-i_{3}-i_{5}-i_{6}=0. \end{aligned}
Também vou extrair explicitamente os coeficientes de cada equação em relação às incógnitas i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5},i_{6} (mesmo que algumas incógnitas não apareçam em certas equações).

Passo 2

Definição e ideia de método (explicação didática):
  • Cada equação linear pode ser vista como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^{6} (ou \mathbb{C}^{6}). Por exemplo, a equação a_1 i_1 + a_2 i_2 + \dots + a_6 i_6 = 0 corresponde ao vetor de coeficientes (a_1,a_2,\dots,a_6).
  • Um conjunto de equações é linearmente independente quando os seus vetores de coeficientes são linearmente independentes, ou seja: se \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 implica que \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Para verificar independência, pegue os vetores de coeficientes e resolva a equação linear homogênea para os escalares (coeficientes da combinação linear). Se a única solução for a solução trivial (todos nulos), então são independentes.

Passo 3

Extrair os vetores de coeficientes das três equações (na ordem i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5},i_{6}):
\begin{aligned} v_{1} &= (-1,\,0,\,0,\,-1,\,1,\,1),\\\ v_{2} &= (1,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0),\\\ v_{3} &= (0,\,0,\,-1,\,0,\,-1,\,-1). \end{aligned}

Passo 4

Montar a condição de dependência linear: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0.
Escrevendo componente a componente (cada componente corresponde ao coeficiente de i_{1},i_{2},\dots,i_{6}) obtemos o sistema para \alpha,\beta,\gamma:
\begin{aligned} \text{(coef. de }i_{1}):&\quad -\alpha+\beta+0\cdot\gamma=0,\\\ \text{(coef. de }i_{2}):&\quad 0\alpha+0\beta+0\gamma=0,\\\ \text{(coef. de }i_{3}):&\quad 0\alpha+0\beta-\gamma=0,\\\ \text{(coef. de }i_{4}):&\quad -\alpha+\beta+0\gamma=0,\\\ \text{(coef. de }i_{5}):&\quad \alpha+0\beta-\gamma=0,\\\ \text{(coef. de }i_{6}):&\quad \alpha+0\beta-\gamma=0. \end{aligned}

Passo 5

Resolver passo a passo o sistema obtido:
  • Da equação do coeficiente de i_{1}: -\alpha+\beta=0, então \beta=\alpha.
  • A equação do coeficiente de i_{3} -\gamma=0, logo \gamma=0.
  • As equações dos coeficientes de i_{5} e i_{6} são idênticas: \alpha-\gamma=0. Substituindo \gamma=0 obtemos \alpha=0.
  • Com \alpha=0 segue \beta=\alpha=0.
Portanto a única solução para \alpha,\beta,\gamma é \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • Como a única combinação linear que anula os vetores de coeficientes é a combinação trivial, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
  • Logo, as três equações dadas são linearmente independentes (nenhuma delas é combinação linear das outras duas).

Resposta

As três equações são linearmente independentes.

Exercícios relacionados