Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar se o conjunto formado pelas três equações dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
Informações fornecidas (as três equações do enunciado):
Também vou extrair explicitamente os coeficientes de cada equação em relação às incógnitas
(mesmo que algumas incógnitas não apareçam em certas equações).
Passo 2
Definição e ideia de método (explicação didática):
- Cada equação linear pode ser vista como um vetor de coeficientes em
(ou ). Por exemplo, a equação corresponde ao vetor de coeficientes . - Um conjunto de equações é linearmente independente quando os seus vetores de coeficientes são linearmente independentes, ou seja: se
implica que . - Para verificar independência, pegue os vetores de coeficientes e resolva a equação linear homogênea para os escalares (coeficientes da combinação linear). Se a única solução for a solução trivial (todos nulos), então são independentes.
Passo 3
Extrair os vetores de coeficientes das três equações (na ordem
):
Passo 4
Montar a condição de dependência linear: suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo componente a componente (cada componente corresponde ao coeficiente de
) obtemos o sistema para
:
Passo 5
Resolver passo a passo o sistema obtido:
- Da equação do coeficiente de
: , então . - A equação do coeficiente de
dá , logo . - As equações dos coeficientes de
e são idênticas: . Substituindo obtemos . - Com
segue .
Portanto a única solução para
é
.
Passo 6
Interpretação do resultado:
- Como a única combinação linear que anula os vetores de coeficientes é a combinação trivial, os vetores
são linearmente independentes. - Logo, as três equações dadas são linearmente independentes (nenhuma delas é combinação linear das outras duas).
Resposta
As três equações são linearmente independentes.