Determinar os conjuntos de equações que são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
\begin{aligned} & -i_{1}-i_{2}+i_{3}=0 \\\ & i_{2}+i_{4}=0 \\\ & i_{1}-i_{3}-i_{4}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá três equações lineares nas incógnitas i_{1},i_{2},i_{3},i_{4} e pede que se determine quais conjuntos de equações são linearmente independentes ou linearmente dependentes. As equações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{(E1)}\quad -i_{1}-i_{2}+i_{3}=0,\\[4pt] &\text{(E2)}\quad i_{2}+i_{4}=0,\\[4pt] &\text{(E3)}\quad i_{1}-i_{3}-i_{4}=0. \end{aligned}
Informações relevantes que já temos explicitamente:
  • Há 3 equações e 4 incógnitas ( i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}).
  • Cada equação pode ser vista como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^4 (ou \mathbb{C}^4, dependendo do contexto), por exemplo a primeira corresponde a (-1,-1,1,0).]

Passo 2

O que significa que as equações sejam linearmente dependentes/independentes (explicação didática):
  • Tratar as equações como vetores de coeficientes: cada equação corresponde a um vetor linha de coeficientes. Por exemplo
\text{E1}\leftrightarrow v_1 = (-1,-1,1,0), \quad \text{E2}\leftrightarrow v_2 = (0,1,0,1), \quad \text{E3}\leftrightarrow v_3 = (1,0,-1,-1).
  • Esses vetores são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0,0)
com escalares \alpha,\beta,\gamma não todos zero. Caso contrário, são linearmente independentes.
  • Na prática, para verificar dependência basta tentar escrever uma das equações como combinação linear das outras ou encontrar coeficientes não todos nulos que anulem a combinação.

Passo 3

Tentar encontrar uma relação linear direta entre as equações (estratégia simples e rápida):
Calcule v_1+v_2+v_3:
v_1+v_2+v_3 = (-1,-1,1,0) + (0,1,0,1) + (1,0,-1,-1).
Somando componente a componente:
(-1+0+1,\; -1+1+0,\; 1+0-1,\; 0+1-1) = (0,0,0,0).
Isso mostra que
v_1+v_2+v_3=(0,0,0,0),
ou seja, as três equações satisfazem
\text{(E1)}+\text{(E2)}+\text{(E3)}=0.

Passo 4

Interpretação da relação encontrada e conclusão sobre dependência:
A igualdade \text{(E1)}+\text{(E2)}+\text{(E3)}=0 é uma combinação linear não trivial (os coeficientes são \alpha=\beta=\gamma=1, nem todos nulos) que anula os vetores de coeficientes. Logo os três vetores são linearmente dependentes. Em termos de equações, uma das equações é combinação linear das outras; explicitamente:
\text{(E3)} = -\text{(E1)} - \text{(E2)}.
Portanto o conjunto completo \{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\} é linearmente dependente.

Passo 5

Determinar quais subconjuntos são independentes (como usar isso na prova):
  • Qualquer par de equações é linearmente independente? Vamos verificar em palavras: para dois vetores serem dependentes basta que um seja múltiplo escalar do outro. Observando os coeficientes:
    • v_1 não é múltiplo de v_2 (porque v_1 tem primeira componente -1 e v_2 tem primeira componente 0); logo \{v_1,v_2\} é independente.
    • v_1 não é múltiplo de v_3 (porque as segundas componentes são -1 e 0); logo \{v_1,v_3\} é independente.
    • v_2 não é múltiplo de v_3 (porque a primeira componente de v_2 é 0 e de v_3 é 1); logo \{v_2,v_3\} é independente.
  • Conclusão: qualquer par de equações dentre as três forma um conjunto linearmente independente. O posto (rank) das linhas é 2.

Passo 6

Como usar isso para resolver sistemas na prova (exemplo prático e parametrização da solução):
Escolhendo as duas equações independentes (por exemplo E1 e E2) para resolver o sistema reduzido:
\begin{aligned} &-i_{1}-i_{2}+i_{3}=0 \quad\text{(E1)}\\\ &i_{2}+i_{4}=0 \quad\text{(E2)} \end{aligned}
resolvemos em função de variáveis livres. Da (E2) vem
i_{4} = -i_{2}.
Da (E1) isolamos i_{1}:
-i_{1}-i_{2}+i_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad i_{1} = -i_{2}+i_{3}.
Tomando i_{2}=s e i_{3}=t como parâmetros livres (valores quaisquer), obtemos a solução geral
\begin{pmatrix}i_{1}\\[2pt]i_{2}\\[2pt]i_{3}\\[2pt]i_{4}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}. Isso confirma que o espaço de soluções tem dimensão 4-2=2, coerente com posto 2.]

Resposta

O conjunto \{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\} é linearmente dependente (pois \text{E3}=-\text{E1}-\text{E2} ou equivalentemente \text{E1}+\text{E2}+\text{E3}=0).\n
Qualquer par de equações (por exemplo \{\text{E1},\text{E2}\}, \{\text{E1},\text{E3}\} ou \{\text{E2},\text{E3}\}) é linearmente independente.

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