O enunciado dá três equações lineares nas incógnitas i_{1},i_{2},i_{3},i_{4} e pede que se determine quais conjuntos de equações são linearmente independentes ou linearmente dependentes. As equações fornecidas são:
Informações relevantes que já temos explicitamente:
Há 3 equações e 4 incógnitas (i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}).
Cada equação pode ser vista como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^4 (ou \mathbb{C}^4, dependendo do contexto), por exemplo a primeira corresponde a (-1,-1,1,0).]
Passo 2
O que significa que as equações sejam linearmente dependentes/independentes (explicação didática):
Tratar as equações como vetores de coeficientes: cada equação corresponde a um vetor linha de coeficientes. Por exemplo
Esses vetores são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0,0)
com escalares \alpha,\beta,\gamma não todos zero. Caso contrário, são linearmente independentes.
Na prática, para verificar dependência basta tentar escrever uma das equações como combinação linear das outras ou encontrar coeficientes não todos nulos que anulem a combinação.
Passo 3
Tentar encontrar uma relação linear direta entre as equações (estratégia simples e rápida):
Calcule v_1+v_2+v_3:
Interpretação da relação encontrada e conclusão sobre dependência:
A igualdade \text{(E1)}+\text{(E2)}+\text{(E3)}=0 é uma combinação linear não trivial (os coeficientes são \alpha=\beta=\gamma=1, nem todos nulos) que anula os vetores de coeficientes. Logo os três vetores são linearmente dependentes. Em termos de equações, uma das equações é combinação linear das outras; explicitamente:
\text{(E3)} = -\text{(E1)} - \text{(E2)}.
Portanto o conjunto completo \{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\} é linearmente dependente.
Passo 5
Determinar quais subconjuntos são independentes (como usar isso na prova):
Qualquer par de equações é linearmente independente? Vamos verificar em palavras: para dois vetores serem dependentes basta que um seja múltiplo escalar do outro. Observando os coeficientes:
v_1 não é múltiplo de v_2 (porque v_1 tem primeira componente -1 e v_2 tem primeira componente 0); logo \{v_1,v_2\} é independente.
v_1 não é múltiplo de v_3 (porque as segundas componentes são -1 e 0); logo \{v_1,v_3\} é independente.
v_2 não é múltiplo de v_3 (porque a primeira componente de v_2 é 0 e de v_3 é 1); logo \{v_2,v_3\} é independente.
Conclusão: qualquer par de equações dentre as três forma um conjunto linearmente independente. O posto (rank) das linhas é 2.
Passo 6
Como usar isso para resolver sistemas na prova (exemplo prático e parametrização da solução):
Escolhendo as duas equações independentes (por exemplo E1 e E2) para resolver o sistema reduzido:
com s,t\in\mathbb{R}. Isso confirma que o espaço de soluções tem dimensão 4-2=2, coerente com posto 2.]
Resposta
O conjunto \{\text{E1},\text{E2},\text{E3}\} é linearmente dependente (pois \text{E3}=-\text{E1}-\text{E2} ou equivalentemente \text{E1}+\text{E2}+\text{E3}=0).\n
Qualquer par de equações (por exemplo \{\text{E1},\text{E2}\}, \{\text{E1},\text{E3}\} ou \{\text{E2},\text{E3}\}) é linearmente independente.