determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores. \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],
\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} e \displaystyle v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}
é linearmente independente.
O conteúdo é independência linear em \mathbb{R}^{3} e vamos usar o teste do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.
Passo 2
Formamos a matriz A cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Como \det(A)=5\neq 0, concluímos que o único escalar solução de \;c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0\;
é o trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.