determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} e \displaystyle v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}
é linearmente independente.
O conteúdo é independência linear em \mathbb{R}^{3} e vamos usar o teste do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0, então o único conjunto (c_{1},c_{2},c_{3}) que satisfaz
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
é o trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, e assim os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)\cdot3=7,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-(-1)\cdot1=3,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot1=1.
Portanto,
\det(A)=1\cdot7-1\cdot3+1\cdot1=5.

Passo 4

Como \det(A)=5\neq 0, concluímos que o único escalar solução de \;c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0\;
é o trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.

Exercícios relacionados