determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{3} é linearmente independente. O conteúdo é teste de independência linear, que se faz montando a combinação linear homogênea
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
e vendo se há solução não trivial.

Passo 2

Escrevendo componente a componente a equação
c_{1}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} +c_{3}\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
obtém-se o sistema
\begin{cases} 2c_{2}+2c_{3}=0,\\\ c_{1}+c_{2}=0,\\\\ 2c_{1}+3c_{2}+c_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue
c_{2}+c_{3}=0\quad\Longrightarrow\quad c_{3}=-c_{2}.
Da segunda vem
c_{1}=-c_{2}.
Substituindo c_{1}=-c_{2} e c_{3}=-c_{2} na terceira equação, temos
2(-c_{2})+3c_{2}+(-c_{2})=0\quad\Longrightarrow\quad 0=0,
ou seja, a terceira é redundante e existe família infinita de soluções.

Passo 4

Para expor uma relação não trivial, escolhemos c_{2}=1. Então
c_{1}=-1,\quad c_{2}=1,\quad c_{3}=-1
satisfazem o sistema e dão
-1\,v_{1}+1\,v_{2}-1\,v_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_{2}=v_{1}+v_{3}.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.
Uma relação de dependência é
v_{2}=v_{1}+v_{3}.

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