determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores em \mathbb{R}^3
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 2\end{pmatrix}
é linearmente independente.
Conteúdo: independência linear em espaços vetoriais; método: teste pelo determinante e, caso sejam dependentes, resolução de sistema homogêneo para achar a relação de dependência.

Passo 2

Usamos o teste do determinante formando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & -5\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos
\det A =2\begin{vmatrix}1 & -5\\\ 2 & 2\end{vmatrix} -3\begin{vmatrix}2 & -5\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{vmatrix} =2(1\cdot2 -(-5)\cdot2)-3(2\cdot2-(-5)\cdot1)+(2\cdot2-1\cdot1) =24 - 27 + 3 = 0.
Como \det A=0, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Para achar a relação de dependência, escrevemos a combinação
\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 + \gamma\,v_3 = 0
e obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0,\\\\ 2\alpha + \beta - 5\gamma = 0,\\\ \alpha + 2\beta + 2\gamma = 0. \end{cases}

Passo 5

Da primeira equação vem \gamma = -2\alpha - 3\beta. Substituindo na segunda:
2\alpha + \beta -5(-2\alpha-3\beta)=0 \;\Longrightarrow\;12\alpha +16\beta=0 \;\Longrightarrow\;3\alpha+4\beta=0 \;\Longrightarrow\;\beta=-\tfrac{3}{4}\alpha.
Então \gamma=-2\alpha-3(-\tfrac{3}{4}\alpha)=\tfrac14\alpha, o que também satisfaz a terceira equação. Tomando \alpha=4 achamos \beta=-3 e \gamma=1, ou seja
4\,v_1 \;-\;3\,v_2 \;+\;1\,v_3 \;=\;0.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, com relação de dependência
4\,v_1 \;-\; 3\,v_2 \;+\; v_3 \;=\; 0.

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