determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores. \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -1 \\\\ 5\end{array}\right],
\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right],
\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede verificar se o conjunto de quatro vetores em \mathbb{R}^3
é linearmente independente. Se for dependente, precisamos exibir uma relação de dependência entre eles. O conteúdo usado será o conceito de independência linear em espaços de dimensão finita e o fato de que, em \mathbb{R}^n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente dependente.
Passo 2
Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^3 e \dim(\mathbb{R}^3)=3<4, pela propriedade de dimensão concluímos imediatamente que o conjunto é linearmente dependente. Essa observação dispensa cálculos detalhados.
Passo 3
Para encontrar uma relação explícita de dependência, introduzimos escalares c_1,c_2,c_3,c_4, não todos zero, tais que
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 + c_4\,v_4 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema