determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}4 \\\\ -1 \\\\ 5\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede verificar se o conjunto de quatro vetores em \mathbb{R}^3
v_1=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}4\\\ -1\\\ 5\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}
é linearmente independente. Se for dependente, precisamos exibir uma relação de dependência entre eles. O conteúdo usado será o conceito de independência linear em espaços de dimensão finita e o fato de que, em \mathbb{R}^n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente dependente.

Passo 2

Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^3 e \dim(\mathbb{R}^3)=3<4, pela propriedade de dimensão concluímos imediatamente que o conjunto é linearmente dependente. Essa observação dispensa cálculos detalhados.

Passo 3

Para encontrar uma relação explícita de dependência, introduzimos escalares c_1,c_2,c_3,c_4, não todos zero, tais que
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 + c_4\,v_4 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} -2c_1 + 4c_2 + 3c_3 + 5c_4 = 0,\\\\ 3c_1 - c_2 + c_3 = 0,\\\\ 7c_1 + 5c_2 + 3c_3 + 2c_4 = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação isolamos
c_3 = -3c_1 + c_2.
Substituindo em primeira e terceira equações, obtemos
\begin{cases} -2c_1 +4c_2 +3(-3c_1+c_2)+5c_4 = 0 \;\Longrightarrow\;11c_1 -7c_2 =5c_4,\\\\ 7c_1 +5c_2 +3(-3c_1+c_2)+2c_4 = 0 \;\Longrightarrow\;2c_1 -8c_2 =2c_4. \end{cases}
Da segunda linha segue c_4 = c_1 -4c_2. Substituindo em 11c_1 -7c_2 =5c_4
11c_1 -7c_2 =5(c_1 -4c_2) \;\Longrightarrow\;6c_1 +13c_2=0 \;\Longrightarrow\;c_1 = -\tfrac{13}{6}c_2.
Logo
c_3 = -3\Bigl(-\tfrac{13}{6}c_2\Bigr) + c_2 = \tfrac{15}{2}\,c_2, \quad c_4 = -\tfrac{37}{6}\,c_2.
Tomando c_2=6 para eliminar frações, obtemos
c_1 = -13,\quad c_2 = 6,\quad c_3 = 45,\quad c_4 = -37.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (pois há mais de três vetores em \mathbb{R}^3).
Uma relação de dependência é
-13\,v_1 \;+\; 6\,v_2 \;+\; 45\,v_3 \;-\; 37\,v_4 \;=\; 0.

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