determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}6 \\\\ 7 \\\\ 8\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se são linearmente independentes. Vamos chamar
v_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}6\\\ 7\\\ 8\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
O conceito fundamental é que um conjunto é linearmente independente se a única combinação \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0
que gera o vetor nulo é a trivial \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.

Passo 2

Podemos ver por inspeção que v_3 é o vetor nulo. Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é imediatamente linearmente dependente, pois basta escolher um escalar não nulo na combinação correspondente a esse vetor para obter a relação de dependência sem envolver os outros.

Passo 3

Uma relação de dependência não trivial é, por exemplo,
0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + 1\cdot v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Aqui \lambda_1=0, \lambda_2=0 e \lambda_3=1 não são todos zero, mostrando dependência.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois contém o vetor nulo.
Relação de dependência:
0\cdot v_1 \;+\;0\cdot v_2\;+\;1\cdot v_3 \;=\;0.

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