determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^4:
v_{1} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_{2} = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix},\quad v_{3} = \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\\(-1)\end{pmatrix}
e pede para determinar se eles são linearmente independentes. O conteúdo aqui é teste de independência linear: vemos se existe combinação não trivial \alpha v_{1} + \beta v_{2} + \gamma v_{3} = 0.)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula e montamos o sistema para os coeficientes \alpha,\beta,\gamma:
\alpha\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
Isso gera o sistema
\begin{cases} -\alpha + 3\beta + 2\gamma = 0,\\\ \;\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0,\\\\ 2\alpha + 2\beta + \gamma = 0,\\\ \;\alpha + 4\beta - \gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos
\alpha = 3\beta + 2\gamma
e substituímos na segunda:
(3\beta+2\gamma) + 2\beta + 3\gamma = 0 \;\Rightarrow\;5\beta +5\gamma =0 \;\Rightarrow\;\beta + \gamma =0 \;\Rightarrow\;\beta = -\gamma.

Passo 4

Usando \alpha=3\beta+2\gamma e \beta=-\gamma temos \alpha=-\gamma. Substituindo em, por exemplo, 2\alpha+2\beta+\gamma=0:
2(-\gamma)+2(-\gamma)+\gamma = -3\gamma = 0 \;\Rightarrow\;\gamma = 0.
Logo \gamma=0, daí \beta=0 e \alpha=0.

Passo 5

A única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, só existe a combinação trivial. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente.

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