Determinar as defasagens e representar fasorialmente as ondas:
v 1=311 \operatorname{sen}\left(100 t+50^{\circ}\right) V ; v 2=125 \operatorname{sen}\left(100 t+10^{\circ}\right) V.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a defasagem entre as duas ondas e (2) representá‑las fasorialmente. As informações dadas são:
v_1(t)=311\operatorname{sen}\bigl(100t+50^\circ\bigr)\\ \text{V}
v_2(t)=125\operatorname{sen}\bigl(100t+10^\circ\bigr)\\ \text{V}
Listei explicitamente os dados importantes: as amplitudes de pico 311 e 125, a mesma pulsação \omega=100\\ \text{rad/s} (isso é essencial: só podemos comparar fases diretamente quando a frequência é igual) e as fases \phi_1=50^\circ e \phi_2=10^\circ. A pergunta é: qual é a defasagem \Delta\varphi e quais são os fasores correspondentes a essas ondas?

Passo 2

O que é defasagem? Defasagem é a diferença de fase entre duas ondas de mesma frequência. Matematicamente:
\Delta\varphi=\phi_1-\phi_2.
Substituindo os valores dados:
\Delta\varphi=50^\circ-10^\circ=40^\circ.
Interpretação prática: como \Delta\varphi>0, a onda v_1 está adiantada (ela “lead”) em relação a v_2 por 40^\circ. Em termos coloquiais: quando acompanho as oscilações, v_1 atinge os mesmos pontos 40^\circ antes de v_2.

Passo 3

Agora, o que é representar fasorialmente? Um fasor é uma representação complexa da amplitude e da fase de uma senoide (assumindo dependência \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) ou \cos(\omega t+\varphi)). Existem duas convenções comuns:
  • Fasor em amplitude de pico: associamos à senoide de pico V_m o fasor \underline{V}=V_m\angle\varphi.
  • Fasor em valor eficaz (RMS): usamos \underline{V}=(V_m/\sqrt{2})\angle\varphi. Isso é útil em circuitos elétricos porque potências usam valores RMS.
    Aviso sobre seno versus cosseno: muitos livros usam a forma V_m\cos(\omega t+\varphi) como referência. Se quisermos converter uma senoide para a convenção do cosseno, usamos \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=\cos(\omega t+\varphi-90^\circ). Isso desloca a fase em -90^\circ. Aqui eu vou apresentar as representações de forma direta usando a mesma forma \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) (ou seja, mantemos os ângulos dados).

Passo 4

Fasores usando amplitude de pico (convenção direta para senoides):
\underline{V}_1 = 311\angle 50^\circ\\ \text{V (pico)}
\underline{V}_2 = 125\angle 10^\circ\\ \text{V (pico)}
Esses fasores guardam a informação de amplitude (módulo) e fase (argumento). Repare que a pulsação \omega=100\\ \text{rad/s} é a mesma para ambos, por isso basta comparar ângulos.

Passo 5

Fasores em valor eficaz (RMS), que muitos exercícios e circuitos pedem:
\underline{V}_{1,\text{rms}}=\frac{311}{\sqrt{2}}\angle 50^\circ\\ \text{V}
\underline{V}_{2,\text{rms}}=\frac{125}{\sqrt{2}}\angle 10^\circ\\ \text{V}
Calculando numericamente (aproximação):
\frac{311}{\sqrt{2}}\approx 219{,}9\\ \text{V},\qquad \frac{125}{\sqrt{2}}\approx 88{,}39\\ \text{V}.
Logo:
\underline{V}_{1,\text{rms}}\approx 219{,}9\angle 50^\circ\\ \text{V}
\underline{V}_{2,\text{rms}}\approx 88{,}39\angle 10^\circ\\ \text{V}

Passo 6

Se quiseres a forma retangular (útil para somar fasores), convertemos \underline{V}=V_m(\cos\varphi + j\operatorname{sen}\varphi). Vou calcular as formas em pico para praticar:
  • Para \underline{V}_1: \cos50^\circ\approx 0{,}642787, \sen50^\circ\approx 0{,}766044. Então
\underline{V}_1=311\bigl(\cos50^\circ+j\sen50^\circ\bigr)\approx 311(0{,}642787 + j0{,}766044)\approx 199{,}9 + j238{,}1\\ \text{V}.
  • Para \underline{V}_2: \cos10^\circ\approx 0{,}984808, \sen10^\circ\approx 0{,}173648. Então
\underline{V}_2=125\bigl(\cos10^\circ+j\sen10^\circ\bigr)\approx 125(0{,}984808 + j0{,}173648)\approx 123{,}10 + j21{,}71\\ \text{V}.
Essas formas retangulares confirmam visualmente que a componente imaginária (associada à fase) de v_1 é maior — condizente com \phi_1 maior.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dicas rápidas):
  • Se as duas senoides têm a mesma \omega, a defasagem é só subtrair os ângulos.
  • Escolhe se vais trabalhar com pico ou RMS e mantém consistência.
  • Para somas e subtrações, converte para forma retangular; para multipli­cação/divisão, a forma polar (módulo∠fase) é mais simples.
    Força aí — você já tem o resultado e sabe como representar e interpretar os fasores!

Resposta

\Delta\varphi=40^\circ (ou seja, v_1 lidera v_2 por 40^\circ).
\underline{V}_1=311\angle 50^\circ\\ \text{V} (pico), \underline{V}_2=125\angle 10^\circ\\ \text{V} (pico).
\underline{V}_{1,\text{rms}}\approx 219{,}9\angle 50^\circ\\ \text{V}, \underline{V}_{2,\text{rms}}\approx 88{,}39\angle 10^\circ\\ \text{V}.

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