Determinar o valor instantâneo da corrente \mathrm{i}=80 \mathrm{sen}\left(400 \mathrm{t}-30^{\circ}\right) A em \mathrm{t}=10 \mathrm{~ms}.

Passo 1

O enunciado dá a corrente instantânea
\mathrm{i} = 80\,\operatorname{sen}\!\left(400\,t - 30^\circ\right)\\ \text{A}
e pede o valor dessa corrente em t = 10\\ \mathrm{ms}.
Informações relevantes que temos:
  • Amplitude da corrente: 80 A.
  • Função temporal: seno com argumento 400\,t - 30^\circ.
  • Tempo pedido: t = 10\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Antes de substituir t precisamos cuidar das unidades do argumento do seno. O termo 400\,t está em radianos (pois 400 é uma frequência angular em \mathrm{rad/s} quando t está em segundos) enquanto -30^\circ está em graus. Para calcular corretamente devemos usar o mesmo sistema de unidades para o ângulo. Duas opções:
  • Converter -30^\circ para radianos, ou
  • Calcular o seno com a calculadora no modo graus (menos recomendável aqui para demonstrar a conta).
    Vou converter -30^\circ para radianos, usando a relação
30^\circ = \frac{\pi}{6}\\ \text{rad}.

Passo 3

Converto o tempo para segundos:
10\\ \mathrm{ms} = 10\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{s} = 0,01\\ \mathrm{s}.
Substituo na expressão do argumento:
400\,t - 30^\circ = 400\cdot 0,01 - \frac{\pi}{6}.
Calculo os termos:
400\cdot 0,01 = 4, \qquad \frac{\pi}{6} \approx 0,5235987756.
Logo o argumento numérico é
4 - \frac{\pi}{6} \approx 3,4764012244\\ \text{rad}.

Passo 4

Para facilitar o cálculo do seno, noto que
3,4764012244 \approx \pi + 0,3348085708,
pois \pi \approx 3,1415926536. Usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(\pi + x) = -\operatorname{sen}(x),
temos
\operatorname{sen}\!\left(4 - \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{sen}\!\big(\pi + 0,3348085708\big) = -\operatorname{sen}(0,3348085708).

Passo 5

Agora precisamos calcular \operatorname{sen}(0,3348085708). Para não depender da calculadora, uso a série de Taylor (suficiente com alguns termos para boa precisão):
\operatorname{sen} x \approx x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}.
Com x = 0,3348085708 calculo os termos aproximados:
x \approx 0,3348085708,
x^{3} \approx 0,037520\quad(\text{aprox.}),
\frac{x^{3}}{6} \approx 0,0062533,
x^{5} \approx 0,00420\quad(\text{aprox.}),
\frac{x^{5}}{120} \approx 0,0000350.
Então
\operatorname{sen}(0,3348085708) \approx 0,3348085708 - 0,0062533 + 0,0000350 \approx 0,3285903.
Com o sinal obtido no passo anterior:
\operatorname{sen}\!\left(4 - \frac{\pi}{6}\right) \approx -0,3285903.

Passo 6

Finalmente, multiplico pelo coeficiente 80 para obter a corrente:
\mathrm{i}(0,01) = 80 \cdot \operatorname{sen}\!\left(4 - \frac{\pi}{6}\right) \approx 80 \cdot (-0,3285903) \approx -26,2872\\ \text{A}.
Arredondando para duas casas decimais (convencional em respostas numéricas):
\mathrm{i}(10\\ \mathrm{ms}) \approx -26,29\\ \text{A}.

Resposta

-26,29\\ \text{A}

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