Determinar as defasagens e representar fasorialmente as ondas:
v=60 \operatorname{sen}\left(377 t+50^{\circ}\right) v ; i=3 \operatorname{sen}\left(377 t-10^{\circ}\right) A.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais com a mesma pulsação \omega e pede duas coisas: (a) determinar as defasagens entre elas; (b) representá-las fasorialmente. As informações relevantes são:
v(t)=60\operatorname{sen}\!\bigl(377\,t+50^\circ\bigr)\\ \text{V},
i(t)=3\operatorname{sen}\!\bigl(377\,t-10^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Perguntas explícitas:
  1. Qual é a defasagem entre v e i (em graus) e quem está adiantado/atrasado?
  2. Qual a representação fasorial de v e de i (forma polar e, se útil, forma retangular)?

Passo 2

O que é “defasagem” aqui e como calculamos?
  • Cada senoide tem um ângulo de fase (deslocamento no tempo) dado dentro da função: para v a fase é \phi_v=50^\circ e para i é \phi_i=-10^\circ.
  • A defasagem (diferença de fase) entre v e i calculamos por
\Delta\varphi=\phi_v-\phi_i.
Agora substituímos os valores:
\Delta\varphi = 50^\circ - (-10^\circ) = 50^\circ + 10^\circ = 60^\circ.
Interpretação prática: \Delta\varphi=+60^\circ significa que v está adiantada (lead) em relação a i por 60^\circ. Equivalentemente, i atrasa (lag) em relação a v por 60^\circ.

Passo 3

O que é representação fasorial e convenções importantes? (mini-aula)
  • Um fasor é uma representação complexa da amplitude e fase de uma senoide, escrita geralmente na forma polar \tilde X = X_{\text{m}}\angle\varphi (onde X_{\text{m}} é a amplitude de pico e \varphi é a fase) ou na forma retangular \tilde X = X_{\text{re}} + j X_{\text{im}}.
  • Atenção à convenção: muitos livros usam sinais em cosseno como referência (i.e., representar \cos(\omega t + \varphi) por \tilde X = X_{\text{m}}\angle\varphi). Aqui as ondas estão escritas em seno: \operatorname{sen}(\omega t+\varphi). Para converter seno para cosseno usamos a identidade
\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=\cos\!\bigl(\omega t+\varphi-90^\circ\bigr).
  • Podemos, contudo, também adotar a convenção de trabalhar diretamente com fasores compatíveis à forma dada (ou seja, registrar o ângulo exatamente como aparece no seno). O importante é ser consistente. Vou mostrar as duas coisas: (A) fasores diretamente pelos ângulos dados (convenção “seno, amplitude de pico”), e (B) a versão usual em cosseno (subtraindo 90^\circ), e também a forma retangular.

Passo 4

Fasores usando a amplitude de pico e os ângulos tal como aparecem no seno (convenção direta do enunciado):
  • Para v(t)=60\operatorname{sen}(377t+50^\circ) o fasor de pico é
\tilde V = 60\angle 50^\circ\\ \text{V}.
  • Para i(t)=3\operatorname{sen}(377t-10^\circ) o fasor de pico é
\tilde I = 3\angle -10^\circ\\ \text{A}.
Esses fasores codificam a amplitude de pico e o ângulo de fase do seno diretamente. A diferença de fase entre eles aparece nos ângulos: 50^\circ - (-10^\circ)=60^\circ, como já calculado.

Passo 5

Converter esses fasores para a forma retangular (passo a passo, sem pular etapas) — útil em contas com números complexos:
Fórmula de conversão polar \to retangular: para \tilde X = R\angle\theta,
\tilde X = R\cos\theta + jR\sin\theta.
Agora calculamos com aproximações usuais de seno e cosseno (valores numéricos):
  • Para \tilde V = 60\angle 50^\circ:
\cos 50^\circ \approx 0{,}6428,\qquad \sin 50^\circ \approx 0{,}7660,
\tilde V = 60\cos 50^\circ + j\,60\sin 50^\circ \approx 60\cdot 0{,}6428 + j\,60\cdot 0{,}7660,
\tilde V \approx 38{,}57 + j\,45{,}96\\ \text{V}.
  • Para \tilde I = 3\angle -10^\circ:
\cos(-10^\circ)=\cos 10^\circ \approx 0{,}9848,\qquad \sin(-10^\circ) \approx -0{,}17365,
\tilde I = 3\cos(-10^\circ) + j\,3\sin(-10^\circ) \approx 3\cdot 0{,}9848 + j\,3\cdot(-0{,}17365),
\tilde I \approx 2{,}954 - j\,0{,}521\\ \text{A}.

Passo 6

(Alternativa comum) Se quiser trabalhar com a convenção de cosseno (muito usada em circuitos) ou com fasores em valor eficaz (RMS):
  • Converter seno para cosseno: subtrai-se 90^\circ do ângulo. Assim:
\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\longrightarrow \tilde X_{\text{(cosseno)}} = X_{\text{m}}\angle(\varphi-90^\circ).
Aplicando:
\tilde V_{\text{(cosseno, pico)}} = 60\angle(50^\circ-90^\circ)=60\angle -40^\circ,
\tilde I_{\text{(cosseno, pico)}} = 3\angle(-10^\circ-90^\circ)=3\angle -100^\circ.
  • Converter para valores eficazes (RMS): divide a amplitude de pico por \sqrt{2}. Como \sqrt{2}\approx 1{,}4142,
V_{\text{rms}}=\frac{60}{\sqrt{2}}\approx 42{,}43\\ \text{V},\qquad I_{\text{rms}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2{,}121\\ \text{A}.
Fasores RMS (na convenção de ângulo igual ao do seno dado) seriam:
\tilde V_{\text{rms}} \approx 42{,}43\angle 50^\circ\\ \text{V},
\tilde I_{\text{rms}} \approx 2{,}121\angle -10^\circ\\ \text{A}.

Passo 7

Resumo final e interpretação rápida (ânimo!):
  • A diferença de fase é \Delta\varphi=60^\circ; v lidera i por 60^\circ.
  • Pode-se usar diretamente \tilde V=60\angle 50^\circ e \tilde I=3\angle -10^\circ (forma polar de pico), ou as formas retangulares calculadas acima para contas algébricas. Se preferir a convenção de cosseno ou fasores RMS, eu mostrei como converter.

Resposta

\Delta\varphi=\phi_v-\phi_i=50^\circ-(-10^\circ)=60^\circ (logo v está adiantada em relação a i por 60^\circ).
\tilde V = 60\angle 50^\circ\\ \text{V},\\ \tilde I = 3\angle -10^\circ\\ \text{A}.

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