Uma tensão senoidal de 5 V de pico e frequência 1 kHz é aplicada a um resistor de
. Pede-se: a) a expressão matemática da tensão; b) período e frequência; c) tensão média e tensão RMS; d) a potência média dissipada no resistor
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
- Uma tensão senoidal de pico
e frequência é aplicada a um resistor de . - Perguntas:
a) escrever a expressão matemática da tensão (forma);
b) determinar o período e verificar a frequência;
c) calcular a tensão média e a tensão RMS;
d) calcular a potência média dissipada no resistor.
Passo 2
Forma geral de uma tensão senoidal e definição das variáveis (aula rápida e necessária).
- Uma tensão senoidal pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (ou pico) da tensão, em volts; -
é a frequência angular, em rad/s; -
é a fase inicial, em radianos; -
é o tempo, em segundos. - Se o enunciado não dá fase, adotamos
(referência de tempo escolhida). - A relação entre frequência em hertz e frequência angular é
onde
é a frequência em hertz.
Passo 3
Aplicando os valores do enunciado para obter
.
- Dado
e . - Calculamos
:
- Como escolhemos
, a expressão da tensão é
(Pronto: essa é a forma pedida em a).)
Passo 4
Período e confirmação da frequência (b).
- Definição: o período
é o tempo de um ciclo da onda e é dado por
- Com
temos
- A frequência já era
(conferido).
Passo 5
Tensão média sobre um ciclo (c, primeira parte).
- Definição: a tensão média sobre um período é
- Substituindo
:
- Como
, e , o termo entre colchetes é zero, logo
- Interpretação simples: a senóide tem áreas positiva e negativa iguais num ciclo, então a média é zero.
Passo 6
Tensão eficaz (RMS) — definição e cálculo (c, segunda parte).
- Definição: a tensão RMS é
- Para
temos
- Usamos a identidade trigonométrica
- Logo
- O integral de
sobre um período inteiro é zero (pois é múltiplo de ), então a média de vale . Assim
- Substituindo
:
Passo 7
Potência média dissipada no resistor (d).
- Instante a instante a potência dissipada no resistor
é
- A potência média (média sobre um período) é
- Mas a expressão entre parênteses é exatamente
. Portanto
- Usando
obtemos a forma alternativa
- Substituindo
e :
Resposta
a)
b) e
c) e
d)
b)
c)
d)