Uma tensão senoidal de 5 V de pico e frequência 1 kHz é aplicada a um resistor de 10 \Omega. Pede-se: a) a expressão matemática da tensão; b) período e frequência; c) tensão média e tensão RMS; d) a potência média dissipada no resistor

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Uma tensão senoidal de pico 5\\ \text{V} e frequência 1\\ \text{kHz} é aplicada a um resistor de 10\\ \Omega.
  • Perguntas:
    a) escrever a expressão matemática da tensão (forma v(t));
    b) determinar o período e verificar a frequência;
    c) calcular a tensão média e a tensão RMS;
    d) calcular a potência média dissipada no resistor.

Passo 2

Forma geral de uma tensão senoidal e definição das variáveis (aula rápida e necessária).
  • Uma tensão senoidal pode ser escrita como
v(t)=V_{m}\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • V_{m} é a amplitude (ou pico) da tensão, em volts;
  • \omega é a frequência angular, em rad/s;
  • \varphi é a fase inicial, em radianos;
  • t é o tempo, em segundos.
  • Se o enunciado não dá fase, adotamos \varphi=0 (referência de tempo escolhida).
  • A relação entre frequência em hertz e frequência angular é
\omega = 2\pi f,
onde f é a frequência em hertz.

Passo 3

Aplicando os valores do enunciado para obter v(t).
  • Dado V_{m}=5\\ \text{V} e f=1\\ \text{kHz}=1000\\ \text{Hz}.
  • Calculamos \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 1000 = 2000\pi\\ \text{rad/s}.
  • Como escolhemos \varphi=0, a expressão da tensão é
v(t)=5\sin(2000\pi t)\\ \text{V}.
(Pronto: essa é a forma pedida em a).)

Passo 4

Período e confirmação da frequência (b).
  • Definição: o período T é o tempo de um ciclo da onda e é dado por
T=\frac{1}{f}.
  • Com f=1000\\ \text{Hz} temos
T=\frac{1}{1000}=0,001\\ \text{s}=1\\ \text{ms}.
  • A frequência já era f=1\\ \text{kHz}=1000\\ \text{Hz} (conferido).

Passo 5

Tensão média sobre um ciclo (c, primeira parte).
  • Definição: a tensão média sobre um período é
V_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.é
  • Substituindo v(t)=V_{m}\sin(\omega t):
V_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{m}\sin(\omega t)\,dt = \frac{V_{m}}{T}\left[-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}\right]_{0}^{T}.é
  • Como \omega T = 2\pi f\cdot \frac{1}{f}=2\pi, e \cos(2\pi)=\cos(0)=1, o termo entre colchetes é zero, logo
V_{\text{médio}}=0.é
  • Interpretação simples: a senóide tem áreas positiva e negativa iguais num ciclo, então a média é zero.

Passo 6

Tensão eficaz (RMS) — definição e cálculo (c, segunda parte).
  • Definição: a tensão RMS é
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)^{2}\,dt}.
  • Para v(t)=V_{m}\sin(\omega t) temos
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{m}^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt} =V_{m}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}.
  • Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
  • Logo
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\left[1 - \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt\right].
  • O integral de \cos(2\omega t) sobre um período inteiro é zero (pois 2\omega T é múltiplo de 4\pi), então a média de \sin^{2} vale 1/2. Assim
V_{\text{rms}}=V_{m}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo V_{m}=5\\ \text{V}:
V_{\text{rms}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\\ \text{V}\approx 3,5355\\ \text{V}\\ (\approx 3,54\\ \text{V}).

Passo 7

Potência média dissipada no resistor (d).
  • Instante a instante a potência dissipada no resistor R é
p(t)=\frac{v(t)^{2}}{R}.
  • A potência média (média sobre um período) é
P_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{v(t)^{2}}{R}\,dt =\frac{1}{R}\left(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v(t)^{2}\,dt\right).é
  • Mas a expressão entre parênteses é exatamente V_{\text{rms}}^{2}. Portanto
P_{\text{médio}}=\frac{V_{\text{rms}}^{2}}{R}.é
  • Usando V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}} obtemos a forma alternativa
P_{\text{médio}}=\frac{V_{m}^{2}}{2R}.é
  • Substituindo V_{m}=5\\ \text{V} e R=10\\ \Omega:
P_{\text{médio}}=\frac{5^{2}}{2\cdot 10}=\frac{25}{20}=1,25\\ \text{W}.é

Resposta

a) v(t)=5\sin(2000\pi t)\\ \text{V}
b) f=1\\ \text{kHz}=1000\\ \text{Hz} e T=\dfrac{1}{f}=0,001\\ \text{s}=1\\ \text{ms}
c) V_{\text{médio}}=0é e V_{\text{rms}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\\ \text{V}\approx 3,5355\\ \text{V}
d) P_{\text{médio}}=\dfrac{5^{2}}{2\cdot 10}=1,25\\ \text{W}é

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