Determinar a derivada de cada função y=f(x) definida abaixo:
y=(\ln x)^{\arcsin x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (\ln x)^{\arcsin x}.
Aqui temos uma função com base e expoente dependentes de x. Para resolver isso de forma eficiente, vamos usar diferenciação logarítmica e, em seguida, as regras da cadeia e do produto.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para “descer” o expoente:
\ln y = \ln\bigl((\ln x)^{\arcsin x}\bigr) = \arcsin x \;\cdot\;\ln\bigl(\ln x\bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo,
\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}.
Do lado direito, temos produto de \arcsin x por \ln(\ln x), então
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\cdot\ln(\ln x)\bigr) = \frac{d}{dx}(\arcsin x)\,\ln(\ln x) + \arcsin x\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\ln x)\bigr).
Usamos
\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\ln(\ln x)\bigr) =\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =\frac{1}{x\,\ln x}.
Logo,
\frac{y'}{y} = \frac{\ln(\ln x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\arcsin x}{x\,\ln x}.

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\;\Bigl[\frac{\ln(\ln x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\arcsin x}{x\,\ln x}\Bigr].
Por fim, substituímos y=(\ln x)^{\arcsin x}:

Resposta

y' = (\ln x)^{\arcsin x} \Biggl(\frac{\ln(\ln x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\arcsin x}{x\,\ln x}\Biggr).

Exercícios relacionados