Determinar a derivada de cada função y=f(x) definida abaixo:
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de uma função na forma f(x)^{g(x)}, que costuma ser feita por diferenciação logarítmica, usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para baixo”:
\ln y = x \,\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo,
\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}.
No lado direito usamos a regra do produto em x \cdot \ln(1+1/x):
\frac{d}{dx}\Bigl[x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = 1\cdot \ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) + x\cdot \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Para derivar \ln(1+1/x) usamos a regra da cadeia: se u=1+1/x, então
u' = -\frac{1}{x^{2}}, \quad \frac{d}{dx}[\ln u] = \frac{u'}{u} = \frac{-1/x^{2}}{\,1+1/x\,} = -\frac{1}{x(x+1)}.
Logo o termo do produto fica
x\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x(x+1)}\bigr) = -\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Juntando, obtemos
\frac{y'}{y} = \ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}.
Multiplicando por y e substituindo y=(1+1/x)^{x}, vem
y' = \Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)^{x} \Biggl(\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}\Biggr).

Resposta

y' = \Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)^{x} \Biggl(\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}\Biggr).

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