Determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor que faz um ângulo de
com o eixo
positivo.
Para isso, vamos utilizar conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função multivariável. Precisamos calcular o gradiente da função
, determinar o vetor direção a partir do ângulo fornecido, normalizar esse vetor e, finalmente, calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente da função é:
No ponto
, substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor direção que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.
As componentes do vetor
podem ser encontradas usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Calculando os valores:
Então, o vetor direção é:
Como
já é um vetor unitário (seu módulo é 1), não precisamos normalizá-lo.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente da função no ponto dado e o vetor direção.
A fórmula da derivada direcional
é:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que forma um ângulo de
com o eixo
positivo é: