Uma caixa com formato de paralelepípedo retângulo sem tampa será confeccionada em alumínio e deve ter volume de 4000 cm^3. Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado na confecção da caixa?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir uma caixa sem tampa, no formato de um paralelepípedo retângulo, feita de alumínio, com um volume de . O objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que usam a menor quantidade de alumínio possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, que envolvem cálculo diferencial para minimizar a área da superfície da caixa.

Passo 2

Vamos chamar as dimensões da caixa de (comprimento), (largura) e (altura). Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Como queremos minimizar a quantidade de alumínio usado, precisamos minimizar a área da superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área será:
Aqui, é a área da base, e e são as áreas das laterais.

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar com a restrição de que o volume seja 4000 . Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos isolar :
Agora, substituímos na função da área:

Passo 4

Agora temos a função da área em termos de e :
Para encontrar os valores de e que minimizam , usamos cálculo diferencial. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para :
E a segunda equação para :
Substituindo da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 8000:
Desconsideramos (não faz sentido físico) e temos:

Passo 6

Agora que encontramos , substituímos na equação de :
Por fim, encontramos usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado são:

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