Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dada a função
, onde são constantes. - O enunciado pede a derivada
. - Observação importante sobre domínio: a função e sua derivada só fazem sentido para valores de
tais que (porque o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Estratégia de resolução (fórmula que vamos usar) — Regra do quociente:
- Se
e são funções diferenciáveis e , então
- Nesta fórmula,
é a derivada de e é a derivada de . A regra diz: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identificar as funções
e
no problema:
- Tome
(o numerador). - Tome
(o denominador). - Essas são funções lineares em
, e a derivada de uma função linear é a constante que acompanha .
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
:
- Como
, tem-se (porque a derivada de é e a de é ). - Como
, tem-se .
Passo 5
Aplicar a regra do quociente substituindo
:
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica do numerador passo a passo:
- Expandindo o numerador:
- Note que os termos em
se cancelam: . - Sobra no numerador a constante
.
Portanto
Passo 7
Interpretações e casos especiais rápidos (úteis na prova):
- A derivada existe para todo
tal que . - Se
então para todos os do domínio — nesse caso a função é constante no domínio considerado. - A fórmula funciona também em casos degenerados (por exemplo se
o resultado reduz para , que é a derivada de uma função afim dividida por constante).