Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{a+b x}{c+d x}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dada a função \displaystyle f(x)=\frac{a+b x}{c+d x}, onde a,b,c,d são constantes.
  • O enunciado pede a derivada \displaystyle f'(x).
  • Observação importante sobre domínio: a função e sua derivada só fazem sentido para valores de x tais que \displaystyle c+d x \neq 0 (porque o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Estratégia de resolução (fórmula que vamos usar) — Regra do quociente:
  • Se \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) são funções diferenciáveis e \displaystyle v(x)\neq 0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Nesta fórmula, \displaystyle u' é a derivada de \displaystyle u e \displaystyle v' é a derivada de \displaystyle v. A regra diz: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificar as funções \displaystyle u e \displaystyle v no problema:
  • Tome \displaystyle u(x)=a+b x (o numerador).
  • Tome \displaystyle v(x)=c+d x (o denominador).
  • Essas são funções lineares em x, e a derivada de uma função linear é a constante que acompanha x.

Passo 4

Calcular as derivadas de \displaystyle u e \displaystyle v:
  • Como \displaystyle u(x)=a+b x, tem-se \displaystyle u'(x)=b (porque a derivada de \displaystyle a é 0 e a de \displaystyle b x é b).
  • Como \displaystyle v(x)=c+d x, tem-se \displaystyle v'(x)=d.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente substituindo \displaystyle u,u',v,v':
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{b(c+d x)-d(a+b x)}{(c+d x)^{2}}.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica do numerador passo a passo:
  • Expandindo o numerador:
b(c+d x)-d(a+b x)=bc+b d x-ad-b d x.
  • Note que os termos em x se cancelam: b d x - b d x=0.
  • Sobra no numerador a constante bc-ad.
Portanto
f'(x)=\frac{bc-ad}{(c+d x)^{2}}.

Passo 7

Interpretações e casos especiais rápidos (úteis na prova):
  • A derivada existe para todo x tal que \displaystyle c+d x\neq 0.
  • Se \displaystyle bc-ad=0 então \displaystyle f'(x)=0 para todos os x do domínio — nesse caso a função é constante no domínio considerado.
  • A fórmula funciona também em casos degenerados (por exemplo se \displaystyle d=0 o resultado reduz para \displaystyle f'(x)=\frac{b}{c}, que é a derivada de uma função afim dividida por constante).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{bc-ad}{(c+d x)^{2}}

Exercícios relacionados