Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
f(z)=\frac{1+\sqrt{z}}{1-\sqrt{z}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(z)=\frac{1+\sqrt{z}}{1-\sqrt{z}}.
Informações e restrições que vêm do enunciado:
  • A expressão contém \sqrt{z}, portanto para trabalhar no domínio real precisamos de z\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero, ou seja \,1-\sqrt{z}\neq 0, o que implica z\neq 1.
  • Vou calcular a derivada para pontos do domínio onde a operação faz sentido (em particular para z>0 a derivada da raiz existe; em z=0 a derivada de \sqrt{z} é singular).
    O objetivo é encontrar f'(z).

Passo 2

Estratégia inicial (substituição para clareza). Defino
u=\sqrt{z}=z^{1/2},
de modo que a função fica escrita como composição
f(z)=g(u(z)),\qquad g(u)=\frac{1+u}{1-u}.
Essa escrita facilita usar a regra da cadeia: primeiro derivar g em relação a u, depois multiplicar por du/dz.

Passo 3

Derivada de u(z)=z^{1/2}. Vou recordar a fórmula básica para potências: para qualquer real \alpha,
\frac{d}{dz}z^{\alpha}=\alpha z^{\alpha-1},
quando z>0. Aplicando com \alpha=\tfrac12 temos
\frac{du}{dz}=\frac{d}{dz}z^{1/2}=\tfrac12 z^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Observação prática: essa fórmula mostra por que em z=0 a derivada fica infinita (não definida no sentido finito).

Passo 4

Derivar g(u)=\dfrac{1+u}{1-u} em relação a u. Vou usar a regra do quociente: se g(u)=\dfrac{N(u)}{D(u)} então
g'(u)=\frac{N'(u)D(u)-N(u)D'(u)}{D(u)^2}.
Aqui N(u)=1+u e D(u)=1-u. Então N'(u)=1 e D'(u)=-1. Substituindo:
g'(u)=\frac{(1)(1-u)-(1+u)(-1)}{(1-u)^2}.
Calculo o numerador passo a passo:
(1)(1-u)-(1+u)(-1)=1-u+1+u=2.
Portanto
g'(u)=\frac{2}{(1-u)^2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(z). A regra da cadeia diz que
f'(z)=g'(u)\cdot\frac{du}{dz}.
Já temos g'(u)=\dfrac{2}{(1-u)^2} e \dfrac{du}{dz}=\dfrac{1}{2\sqrt{z}}. Multiplicando:
f'(z)=\frac{2}{(1-u)^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}}=\frac{1}{(1-u)^2\sqrt{z}}.

Passo 6

Voltar à variável original z substituindo u=\sqrt{z}. Obtemos a expressão final da derivada:
f'(z)=\frac{1}{\bigl(1-\sqrt{z}\bigr)^2\sqrt{z}}.

Passo 7

Comentários finais sobre domínio e existência:
  • A fórmula encontrada vale para z>0 e z\neq 1.
  • Em z=1 a função não está definida (denominador zero).
  • Em z=0 a expressão para f'(z) diverge (não existe derivada finita), porque \dfrac{1}{\sqrt{z}} explode quando z\to 0^+.

Resposta

f'(z)=\frac{1}{\bigl(1-\sqrt{z}\bigr)^2\sqrt{z}}

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