Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações e restrições que vêm do enunciado:
- A expressão contém
, portanto para trabalhar no domínio real precisamos de . - O denominador não pode ser zero, ou seja
, o que implica . - Vou calcular a derivada para pontos do domínio onde a operação faz sentido (em particular para
a derivada da raiz existe; em a derivada de é singular).
O objetivo é encontrar.
Passo 2
Estratégia inicial (substituição para clareza). Defino
de modo que a função fica escrita como composição
Essa escrita facilita usar a regra da cadeia: primeiro derivar
em relação a
, depois multiplicar por
.
Passo 3
Derivada de
. Vou recordar a fórmula básica para potências: para qualquer real
,
quando
. Aplicando com
temos
Observação prática: essa fórmula mostra por que em
a derivada fica infinita (não definida no sentido finito).
Passo 4
Derivar
em relação a
. Vou usar a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Substituindo:
Calculo o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
. A regra da cadeia diz que
Já temos
e
. Multiplicando:
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
. Obtemos a expressão final da derivada:
Passo 7
Comentários finais sobre domínio e existência:
- A fórmula encontrada vale para
e . - Em
a função não está definida (denominador zero). - Em
a expressão para diverge (não existe derivada finita), porque explode quando .