Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^{2} \cdot \operatorname{arccos} \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{2}\,\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr). Para isso, vamos usar a regra do produto, já que f(x)=u(x)\,v(x) com u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr), e em seguida a regra da cadeia para derivar \operatorname{arccos}.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u(x)=x^{2},
u'(x)=2x,
então a primeira parcela é
2x\;\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Para v(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr), usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr]=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}} \quad\text{com }u(x)=x^{2}.
Logo, u'(x)=2x e
v'(x)=-\frac{2x}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}} =-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 4

Substituindo u'(x), v(x) e v'(x) em
f'(x)=2x\,\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr) +x^{2}\,\Bigl(-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\Bigr),
temos
f'(x) =2x\,\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr) -\frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=2x\,\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr) -\frac{2x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}.

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