Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x\cdot\tan\bigl(\tfrac1x\bigr). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Escrevemos f(x)=x\cdot g(x), onde g(x)=\tan\bigl(\tfrac1x\bigr). Pela regra do produto,
f'(x)=1\cdot g(x)+x\cdot g'(x)
isto é,
f'(x)=\tan\bigl(\tfrac1x\bigr)+x\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como g(x)=\tan\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=\tfrac1x, aplicamos a regra da cadeia:
g'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
E como
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac1x\Bigr)=-\frac1{x^2},
segue
g'(x)=-\frac1{x^2}\,\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=\tan\bigl(\tfrac1x\bigr) +x\Bigl(-\frac1{x^2}\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac1x\bigr)\Bigr) =\tan\bigl(\tfrac1x\bigr)-\frac1{x}\,\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac1x\bigr).

Resposta

f'(x)=\tan\bigl(\tfrac1x\bigr)-\frac1{x}\,\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac1x\bigr).

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