Determinar a dimensão e uma base para cada um os seguintes espaços vetoriais.
S=(x, y, z) in R^3 mid 2 x-y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais, dimensão e bases. Precisamos entender como descrever todos os vetores que satisfazem a equação dada e identificar um conjunto de vetores que “geram” esse espaço sem redundâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação 2x + z = y . Isso define uma condição que os componentes dos vetores no espaço devem satisfazer. Para encontrar uma base, queremos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres.
Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos mostra que podemos escolher e como parâmetros livres e expressar em função deles.

Passo 3

Então, vamos definir:
x = s z = t y = 2s + t
Onde (x, y, z) = (s, 2s + t, t) = s(1, 2, 0) + t(0, 1, 1) e são quaisquer números reais. Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, identificamos que os vetores a = 0 2a + b = 0 b = 0 e podem gerar qualquer vetor no espaço . Para confirmar que eles formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes.
Se , então:
A única solução é , então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão de é 2 e uma base para é .

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