Determinar a dimensão e uma base para cada um os seguintes espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial
. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais, dimensão e bases. Precisamos entender como descrever todos os vetores que satisfazem a equação dada e identificar um conjunto de vetores que “geram” esse espaço sem redundâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Isso define uma condição que os componentes
dos vetores no espaço
devem satisfazer. Para encontrar uma base, queremos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres.
Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar
:
Isso nos mostra que podemos escolher
e
como parâmetros livres e expressar
em função deles.
Passo 3
Então, vamos definir:
Onde
e
são quaisquer números reais. Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, identificamos que os vetores
e
podem gerar qualquer vetor no espaço
. Para confirmar que eles formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes.
Se
, então:
A única solução é
, então os vetores são linearmente independentes.
Resposta
A dimensão de
é 2 e uma base para
é
.