Determinar o valor de a para que seja 45^circ o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1, a).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja de . Vamos usar a matéria de produto escalar e a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores u cdot v = u1 cdot v1 + u2 cdot v2 e é calculado assim:
Vamos calcular isso para os nossos vetores.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
u cdot v = 2 cdot 1 + 1 cdot a = 2 + a
Então, o produto escalar é .

Passo 4

Agora, precisamos das magnitudes (ou módulos) dos vetores |u| = raizu1^2 + u2^2 e |u| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 . A magnitude de um vetor |v| = raiz1^2 + a^2 = raiz1 + a^2 é:
Vamos calcular para ambos os vetores.
Para :
Para :

Passo 5

A fórmula que relaciona o ângulo costheta = u cdot v|u| cdot |v| entre dois vetores é:
cos45^circ = 2 + araiz5 cdot raiz1 + a^2
Sabemos que raiz22 = 2 + araiz5 cdot raiz1 + a^2 , então:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de raiz22 cdot raiz5 cdot raiz1 + a^2 = 2 + a . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ( raiz22 cdot raiz5 cdot raiz1 + a^2 )^2 = (2 + a)^2 :
24 cdot 5 cdot (1 + a^2) = 4 + 4a + a^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
104 (1 + a^2) = 4 + 4a + a^2
Simplificando:
52 (1 + a^2) = 4 + 4a + a^2
5(1 + a^2) = 8 + 8a + 2a^2
5 + 5a^2 = 8 + 8a + 2a^2
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
5a^2 - 2a^2 - 8a + 5 - 8 = 0
Distribuindo:
3a^2 - 8a - 3 = 0
Reorganizando os termos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática a = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, a = 8 pm raiz1006 = 8 pm 106 , a1 = 186 = 3 e a2 = -26 = -13 e . Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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