Determinar o valor de a para que seja
o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Vamos usar a matéria de produto escalar e a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é calculado assim:
Vamos calcular isso para os nossos vetores.
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Então, o produto escalar é
.
Passo 4
Agora, precisamos das magnitudes (ou módulos) dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é:
Vamos calcular para ambos os vetores.
Para
:
Para
:
Passo 5
A fórmula que relaciona o ângulo
entre dois vetores é:
Sabemos que
, então:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Distribuindo:
Reorganizando os termos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.