Determinar a distância do ponto P ao plano \pi, nos seguintes casos:
c) P=(0,0,-1), \quad \pi:\left\{\begin{array}{l}x=2 \lambda+\mu \\\ y=-\lambda-\mu \\\ z=1-2 \mu\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(0,0,-1) ao plano \pi dado em forma paramétrica
x=2\lambda+\mu,\quad y=-\lambda-\mu,\quad z=1-2\mu.
O que vamos precisar é ( 1) extrair dois vetores diretores do plano, ( 2) calcular um vetor normal via produto vetorial, ( 3) encontrar a equação cartesiana do plano e ( 4) usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Dos parâmetros \lambda e \mu vemos que um ponto genérico do plano é
\mathbf{r}(\lambda,\mu) = (2\lambda+\mu,\;-\,\lambda-\mu,\;1-2\mu).
Dessa expressão, os vetores diretores são as derivadas parciais em relação a \lambda e \mu:
\mathbf{v}_1 = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (2,\,-1,\,0), \qquad \mathbf{v}_2 = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\mu} = (1,\,-1,\,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado por
\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2.
Fazendo o produto vetorial:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (2,\;4,\;-1).

Passo 4

Para obter a equação cartesiana do plano, basta usar a forma
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\mathbf{r}_0\bigr)=0,
onde \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido do plano. Tomando \lambda=0,\mu=0 temos \mathbf{r}_0=(0,0,1). Assim,
(2,4,-1)\cdot(x-0,\;y-0,\;z-1)=0
leva a
2x + 4y - (z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 4y - z + 1 = 0.

Passo 5

A distância do ponto P=(0,0,-1) ao plano 2x+4y-z+1=0 é dada por
d = \frac{\bigl|2\cdot0 + 4\cdot0 -(-1) + 1\bigr|} {\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|\,1 + 1\,|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{21}}.

Resposta

\frac{2}{\sqrt{21}}

Exercícios relacionados