Determinar a distância do ponto P ao plano \pi, nos seguintes casos:
b) \mathrm{P}=(2,1,-3), \quad \pi:\{\mathrm{X}=(1,2,-1)+\lambda(3,2,-1)+\mu(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(2,1,-3) ao plano \pi dado na forma paramétrica
\mathbf X = (1,2,-1) + \lambda\,(3,2,-1) + \mu\,(1,0,0).
O conteúdo é geometria vetorial: para achar essa distância, usamos a fórmula
\mathrm{dist}(P,\pi) =\frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf n\bigr|}{\|\mathbf n\|},
onde A é um ponto do plano e \mathbf n é um vetor normal a \pi.

Passo 2

Escolhemos como ponto do plano
A=(1,2,-1),
e extraímos os vetores diretores
\mathbf u=(3,2,-1), \quad \mathbf v=(1,0,0).

Passo 3

O vetor normal é dado pelo produto vetorial
\mathbf n = \mathbf u \times \mathbf v = (3,2,-1)\times(1,0,0) =(0,-1,-2).

Passo 4

Formamos o vetor de A até P:
\overrightarrow{AP} = P - A = (2-1,\,1-2,\,-3-(-1))=(1,-1,-2).
O produto escalar com \mathbf n é
\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf n =(1,-1,-2)\cdot(0,-1,-2) =1+4=5.
O módulo de \mathbf n vale
\|\mathbf n\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt5.
Logo, a distância é
\mathrm{dist}(P,\pi) =\frac{|5|}{\sqrt5} =\sqrt5.

Resposta

\sqrt5

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