Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(1,0) e B(3,-2) e tem centro na reta \mathrm{y}=2 \mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos A(1,0) e B(3,-2) e cujo centro C está sobre a reta y=2x.
Conteúdo: geometria analítica, usamos a fórmula da distância no plano e a equação geral de uma circunferência
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde (h,k) é o centro.

Passo 2

Como C pertence à reta y=2x, escrevemos
C=(h,k)\quad\text{com}\quad k=2h.
O raio r deve satisfazer
CA=CB,
ou seja, as distâncias de C a A e a B são iguais.

Passo 3

Escrevemos as distâncias ao quadrado para evitar raízes:
CA^2=(h-1)^2+(k-0)^2=(h-1)^2+k^2,
CB^2=(h-3)^2+(k+2)^2.
Igualando-as e substituindo k=2h:
(h-1)^2+k^2=(h-3)^2+(k+2)^2 \quad\Longrightarrow\quad (h-1)^2+(2h)^2=(h-3)^2+(2h+2)^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(h^2-2h+1)+(4h^2)=(h^2-6h+9)+\bigl(4h^2+8h+4\bigr)
5h^2-2h+1=5h^2+2h+13 \quad\Longrightarrow\quad -2h+1=2h+13 \quad\Longrightarrow\quad 4h=-12 \quad\Longrightarrow\quad h=-3.
Logo k=2h=-6, isto é,
C=(-3,-6).

Passo 5

O raio ao quadrado é
r^2=CA^2=(h-1)^2+k^2=(-3-1)^2+(-6)^2=16+36=52.

Resposta

A equação da circunferência é
(x+3)^2+(y+6)^2=52.

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