Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
A(4,5,2) e o eixo z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passe pelo ponto e contenha o eixo . Vamos trabalhar com Geometria Analítica e usar a teoria sobre equações de planos. Precisamos lembrar que a equação geral do plano é dada por , e vamos precisar encontrar os coeficientes , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano conter o eixo . O eixo é formado por todos os pontos onde e , ou seja, qualquer ponto da forma .

Passo 3

Como o plano contém todos esses pontos, vamos substituir A(0) + B(0) + C z + D = 0 implies C z + D = 0 e na equação geral do plano:

Passo 4

Essa equação C = 0 e D = 0 tem que ser verdadeira para qualquer valor de . A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de e o termo constante forem zero. Então:

Passo 5

Com Ax + By = 0 e , a equação do plano fica simplificada para:

Passo 6

Agora, sabemos que o ponto A(4) + B(5) = 0 implies 4A + 5B = 0 está no plano. Vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano para encontrar a relação entre e :

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre 4A = -5B implies A = -54B e . Podemos expressar em termos de :

Passo 8

Para simplificar, vamos escolher um valor para A = -54 times 4 = -5 . Vamos escolher (pode ser qualquer valor diferente de zero). Assim:

Passo 9

Agora que temos -5x + 4y = 0 e 5x - 4y = 0 , substituímos de volta na equação do plano:
Podemos também escrever de forma positiva multiplicando ambos os lados por -1:

Resposta

A equação geral do plano que contém o ponto 5x - 4y = 0 e o eixo é:

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