Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
e o eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passe pelo ponto
e contenha o eixo
. Vamos trabalhar com Geometria Analítica e usar a teoria sobre equações de planos. Precisamos lembrar que a equação geral do plano é dada por
, e vamos precisar encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano conter o eixo
. O eixo
é formado por todos os pontos onde
e
, ou seja, qualquer ponto da forma
.
Passo 3
Como o plano contém todos esses pontos, vamos substituir
e
na equação geral do plano:
Passo 4
Essa equação
tem que ser verdadeira para qualquer valor de
. A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de
e o termo constante forem zero. Então:
Passo 5
Com
e
, a equação do plano fica simplificada para:
Passo 6
Agora, sabemos que o ponto
está no plano. Vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano para encontrar a relação entre
e
:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Podemos expressar
em termos de
:
Passo 8
Para simplificar, vamos escolher um valor para
. Vamos escolher
(pode ser qualquer valor diferente de zero). Assim:
Passo 9
Agora que temos
e
, substituímos de volta na equação do plano:
Podemos também escrever de forma positiva multiplicando ambos os lados por -1:
Resposta
A equação geral do plano que contém o ponto
e o eixo
é: