Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
contém a reta r: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=z-1 e é paralelo à reta s: \frac{x-3}{2}=2-y=\frac{z-2}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral dos planos que contêm a reta \displaystyle r:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=z-1
e são paralelos à reta \displaystyle s:\frac{x-3}{2}=2-y=\frac{z-2}{4}.
Para resolver, vamos parametrizar as retas, extrair vetores diretores, usar o produto vetorial para achar um vetor normal ao plano e então montar sua equação.

Passo 2

Parametrizando r por t:
\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=z-1=t
resulta em
x=1+2t,\quad y=2t,\quad z=1+t.
Logo, um vetor diretor de r é \vec v_r=(2,2,1)
e um ponto em r é P_0=(1,0,1).

Passo 3

Parametrizando s por u:
\frac{x-3}{2}=2-y=\frac{z-2}{4}=u
x=3+2u,\quad y=2-u,\quad z=2+4u.
Assim, um vetor diretor de s é \vec v_s=(2,-1,4).

Passo 4

Como o plano deve conter r e ser paralelo a s, seus vetores diretores são \vec v_r e \vec v_s. Um vetor normal ao plano é
\vec n = \vec v_r \times \vec v_s = (2,2,1)\times(2,-1,4) = (9,-6,-6).
Podemos simplificar dividindo por 3: \vec n=(3,-2,-2).

Passo 5

A equação do plano com normal \vec n=(3,-2,-2) e passando por P_0=(1,0,1) é
3(x-1)-2(y-0)-2(z-1)=0.
Desenvolvendo:
3x-3-2y-2z+2=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x-2y-2z-1=0.

Resposta

A equação geral do plano é
3x - 2y - 2z - 1 = 0.

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