Determinar a equação da parábola:
(i) de foco F(3,1) e diretriz d: 2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola de foco F(3,1) e diretriz d\colon 2x-1=0. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz). Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a outro e de um ponto a uma reta.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição,
\text{dist}(P,F)=\text{dist}\bigl(P,d\bigr).
A distância de P ao foco F(3,1) é
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}.

Passo 3

A distância de P(x,y) à diretriz 2x-1=0 é
\frac{\bigl|2x-1\bigr|}{\sqrt{2^2}}=\frac{\bigl|2x-1\bigr|}{2}.

Passo 4

Igualando as duas distâncias e elevando ao quadrado para eliminar raízes, temos
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\frac{|2x-1|}{2} \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+(y-1)^2=\frac{(2x-1)^2}{4}.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 4 e simplificando, obtém-se
4(x-3)^2+4(y-1)^2=(2x-1)^2.
Expandindo:
4x^2-24x+36+4y^2-8y+4=4x^2-4x+1.
Cancelando 4x^2 e reunindo termos,
4y^2-8y-20x+39=0.

Passo 6

Para escrever na forma canónica, completamos o quadrado em y:
4\bigl(y^2-2y\bigr)-20x+39=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\bigl((y-1)^2-1\bigr)-20x+39=0
4(y-1)^2-4-20x+39=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(y-1)^2=20x-35
(y-1)^2=5\bigl(x-\tfrac{7}{4}\bigr).

Resposta

A equação da parábola é
(y-1)^2=5\bigl(x-\tfrac{7}{4}\bigr),
ou equivalentemente
4y^2-8y-20x+39=0.

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