Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
f(t)=\left\{\begin{array}{l}x=\ln (t) \\\ y=t^{2}-1\end{array}\right. no ponto G(0 ; 0)

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica
x(t)=\ln(t), \quad y(t)=t^{2}-1
e pede a reta tangente no ponto G(0,0). O conteúdo aqui é derivada de curva paramétrica para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Precisamos achar o parâmetro t_{0} que gera o ponto G. Como G=(0,0), resolvemos
\ln(t_{0})=0 \quad\text{e}\quad t_{0}^{2}-1=0.
Da primeira equação vem t_{0}=1, que satisfaz a segunda.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada componente em função de t:
x'(t)=\frac{d}{dt}\ln(t)=\frac{1}{t}, \quad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-1\bigr)=2t.

Passo 4

A inclinação da reta tangente é dada por
m=\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{2t}{1/t}=2t^{2}.
Em t=1 obtemos m=2.

Passo 5

A equação da reta que passa por (x_{0},y_{0})=(0,0) com inclinação m=2 é
y-0=2\,(x-0)
ou seja
y=2x.

Resposta

y=2x

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