Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
\ln \left(x^{2}\right)+\ln \left(y^{2}\right)=1 no ponto F\left(e, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(y^{2}\bigr)=1
e pede a reta tangente em F\bigl(e,\tfrac{1}{\sqrt{e}}\bigr). Vamos usar diferenciação implícita para achar y' e depois montar a equação da reta y - y_0 = m(x - x_0).

Passo 2

Derivando em relação a x:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{d}{dx}\ln\bigl(y^{2}\bigr)=0.
Como \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}, obtemos
\frac{2x}{x^{2}} +\frac{2y\,y'}{y^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x}+\frac{2y'}{y}=0.
Isolando y':
\frac{2y'}{y}=-\frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{y}{x}.

Passo 3

No ponto F, temos x=e e y=\tfrac{1}{\sqrt{e}}=e^{-1/2}. Logo o coeficiente angular é
m = y'\bigl(e,e^{-1/2}\bigr) =-\frac{e^{-1/2}}{e} =-e^{-3/2}.

Passo 4

A equação da reta tangente em F(x_{0},y_{0}) é
y - y_{0} =m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=e, y_{0}=e^{-1/2} e m=-e^{-3/2}, fica
y - e^{-1/2} =-e^{-3/2}\bigl(x - e\bigr).
Podemos também escrever em forma explícita:
y = -e^{-3/2}\,x + 2\,e^{-1/2}.

Resposta

A reta tangente é
y - e^{-1/2} =-e^{-3/2}\bigl(x - e\bigr) \quad\text{ou}\quad y = -e^{-3/2}x + 2e^{-1/2}.

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