Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
f(t)=\left\{\begin{array}{l}x=t-\operatorname{sen}(t) \\\ y=1-\cos (t)\end{array}\right. no ponto H\left(\frac{\pi}{2} ; 1\right)

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x(t)=t-\operatorname{sen}(t),\quad y(t)=1-\cos(t)
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=\tfrac\pi2.

Passo 2

Avaliaremos as coordenadas desse ponto:
x\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac\pi2-\operatorname{sen}\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac\pi2-1,
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1-\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1-0=1.
Ou seja, o ponto é \bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(\tfrac\pi2-1,\;1\bigr).

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, usamos
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Calculamos
\frac{dx}{dt}=1-\cos(t), \qquad \frac{dy}{dt}=\operatorname{sen}(t).

Passo 4

No instante t=\tfrac\pi2:
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{t=\frac\pi2} =\frac{\operatorname{sen}\bigl(\frac\pi2\bigr)}{1-\cos\bigl(\frac\pi2\bigr)} =\frac{1}{1-0}=1.
Logo a inclinação da reta tangente é m=1.

Passo 5

A equação ponto-inclinação da reta tangente é
y-y_0=m\,(x-x_0),
substituindo m=1, x_0=\tfrac\pi2-1 e y_0=1:
y-1=1\!\bigl(x-(\tfrac\pi2-1)\bigr) \;\Longrightarrow\; y=x-\tfrac\pi2+2.

Resposta

\boxed{y = x - \frac\pi2 + 2.}

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