Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
t^{2} y^{\prime \prime}-t(t+2) y^{\prime}+(t+2) y=0, t>0, y_{1}(t)= t,

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t^{2}y'' - t(t+2)y' + (t+2)y = 0,\quad t>0
e uma solução conhecida y_{1}(t)=t. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis e vamos usar o método da redução de ordem para achar uma segunda solução y_{2}(t) linearmente independente de y_{1}.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y'' + P(t)\,y' + Q(t)\,y = 0.
Dividindo por t^{2} obtemos
y'' - \frac{t+2}{t}\,y' + \frac{t+2}{t^{2}}\,y = 0,
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P(t) = -\frac{t+2}{t}.

Passo 3

A fórmula da redução de ordem diz que, se y_{1} é conhecida, então
y_{2}(t) = y_{1}(t)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(t)\,dt\bigr)}{[y_{1}(t)]^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculamos primeiro
\exp\!\bigl(-\!\int P(t)\,dt\bigr) = \exp\!\Bigl(-\!\int \bigl(-\tfrac{t+2}{t}\bigr)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \bigl(1 + \tfrac{2}{t}\bigr)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t + 2\ln t\bigr) = t^{2}e^{t}.

Passo 5

Substituindo em y_{2}:
y_{2}(t) = t \,\int \frac{t^{2}e^{t}}{t^{2}}\,dt = t \,\int e^{t}\,dt = t\,e^{t}.
Como constante multiplicativa não interessa para independência, basta
y_{2}(t)=t\,e^{t}.

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2}(t)=t\,e^{t}.

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