Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto \mathbf{P}=(1,-2,-1) e intercepta as retas reversas
r\left\{\begin{array} { l } { x = z - 1 } \\ { y = 2 z - 3 } \end{array} \quad \text { e } \quad \text { s } \left\{\begin{array}{l} x=z-2 \\ y=-z+1 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a reta L\) que passa pelo ponto \[P = (1,-2,-1)
e intercepta as retas r e s, dadas por
r:\begin{cases} x = z - 1,\\\ y = 2z - 3, \end{cases} \qquad s:\begin{cases} x = z - 2,\\\ y = -z + 1. \end{cases}
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: representação paramétrica de reta, ponto genérico em cada reta, e condição de colinearidade para que uma reta que passe por (P] encontre ambas.

Passo 2

Escrevemos parametricamente cada reta usando parâmetros t em r e u em s:
r:\,(x,y,z) = (\,t-1,\;2t-3,\;t\,), \qquad s:\,(x,y,z) = (\,u-2,\;-u+1,\;u\,).

Passo 3

Chamamos
A = (\,t-1,\;2t-3,\;t\,)\in r, \quad B = (\,u-2,\;-u+1,\;u\,)\in s.
A reta L passa por P, por A e por B, logo os vetores
\overrightarrow{PA} e \overrightarrow{PB} devem ser paralelos.

Passo 4

Calculamos
\overrightarrow{PA} = A - P = (\,t-1-1,\;2t-3+2,\;t+1\,) = (\,t-2,\;2t-1,\;t+1\,),
\overrightarrow{PB} = B - P = (\,u-2-1,\;-u+1+2,\;u+1\,) = (\,u-3,\;-u+3,\;u+1\,).
Paralelismo implica proporção de componentes, por exemplo
\frac{t-2}{\,u-3\,} =\frac{2t-1}{-u+3} \quad\text{e}\quad \frac{t-2}{\,u-3\,} =\frac{t+1}{\,u+1\,}.

Passo 5

Da primeira igualdade, como -u+3=-(u-3), vem
t-2 = -(2t-1)\quad\Longrightarrow\quad 3t=3\quad\Longrightarrow\quad t=1.
Substituindo em
\,-1/(u-3)=2/(u+1)\, (já que t-2=-1 e t+1=2), obtém-se
-\frac{1}{u-3} = \frac{2}{u+1} \quad\Longrightarrow\quad u = \tfrac{5}{3}.

Passo 6

Com t=1 e u=\tfrac{5}{3} achamos
A = (0,-1,1), \quad \overrightarrow{PA} = A - P = (-1,1,2).
Esse será o vetor diretor de L.

Passo 7

Logo as equações paramétricas de L com parâmetro \lambda são
(x,y,z) = (1,-2,-1) + \lambda\,(-1,1,2),
isto é,
x = 1 - \lambda, \quad y = -2 + \lambda, \quad z = -1 + 2\lambda.

Resposta

\boxed{ x = 1 - \lambda,\quad y = -2 + \lambda,\quad z = -1 + 2\lambda. }

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