Verificar se as retas \frac{x-4}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{5} e X=(1,1,1)+\lambda(2,1,-3) são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se são coplanares. O critério é usar o produto misto: as retas com pontos P_1,P_2 e vetores diretores \mathbf d_1,\mathbf d_2 são coplanares se, e só se,
(P_2 - P_1)\,\cdot\,(\mathbf d_1 \times \mathbf d_2) \;=\; 0.

Passo 2

Para a primeira reta, escrevemos na forma pont o+direção. Da forma simétrica
\frac{x-4}{3} \;=\;\frac{y}{2}\;=\;\frac{z-6}{5}
vemos que um ponto é
P_1 = (4,0,6),
e o vetor diretor é
\mathbf d_1 = (3,\,2,\,5).

Passo 3

Para a segunda reta, já está em forma paramétrica
X = (1,1,1) + \lambda\,(2,1,-3).
Logo,
P_2 = (1,1,1), \qquad \mathbf d_2 = (2,\,1,\,-3).

Passo 4

Calculamos o vetor que liga P_1 a P_2:
\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-4,\;1-0,\;1-6) = (-3,\,1,\,-5).

Passo 5

Agora o produto vetorial \mathbf d_1 \times \mathbf d_2:
\mathbf d_1 \times \mathbf d_2 = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 3 & 2 & 5\\\\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-11,\,19,\,-1).

Passo 6

Finalmente o produto misto:
\overrightarrow{P_1P_2}\,\cdot\,(\mathbf d_1 \times \mathbf d_2) = (-3,1,-5)\cdot(-11,19,-1) = 33 + 19 + 5 = 57 \neq 0.
Como o produto misto é diferente de zero, as retas não são coplanares.

Resposta

As retas não são coplanares.

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