Determinar, se existir, uma base e a dimensão do espaço solução do sistema S:\left\{\begin{array}{c}x-2 y-z-t=0 \\\\ 2 x+y+t=0 \\\ z-3 t=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, uma base e a dimensão do espaço solução do sistema
S:\begin{cases} x-2y-z-t=0,\\[4pt] 2x+y+t=0,\\[4pt] z-3t=0. \end{cases}
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Variáveis: }x,\;y,\;z,\;t.\\\ &\text{Número de equações: }3.\\\ &\text{Número de incógnitas: }4. \end{aligned}áúçõúó]

Passo 2

Decisão do método (explicação curta e intuitiva): aqui a terceira equação dá imediatamente z em função de t, então a forma mais direta é usar substituição (resolver z pela terceira equação e substituir nas outras duas). Isso evita muitas operações de eliminação e é rápido na prova.

Passo 3

Usando a terceira equação para expressar z:
z-3t=0 \quad\Rightarrow\quad z=3t.
Explicação do porquê: a equação é linear e homogênea; isolamos z porque aparece sozinho na equação.

Passo 4

Substituímos z=3t na primeira equação para relacionar x, y e t. A primeira equação é
x-2y-z-t=0.
Substituindo z=3t:
x-2y-(3t)-t=0 \quad\Rightarrow\quad x-2y-4t=0.
Isolando x:
x=2y+4t.
Explicação: apenas recolhemos os termos com x de um lado e os outros do outro.

Passo 5

Agora usamos a segunda equação para eliminar x (substituímos x=2y+4t nela). A segunda equação é
2x+y+t=0.
Substituindo x:
2(2y+4t)+y+t=0.
Desenvolvendo:
4y+8t+y+t=0 \quad\Rightarrow\quad 5y+9t=0.
Isolando y:
y=-\frac{9}{5}\,t.
Explicação passo a passo: multiplicamos, somamos os termos semelhantes e isolamos y.

Passo 6

Com y em função de t, calculamos x usando x=2y+4t:
x=2\left(-\frac{9}{5}t\right)+4t = -\frac{18}{5}t + \frac{20}{5}t = \frac{2}{5}t.
Também já tínhamos z=3t. Portanto temos:
\begin{aligned} x&=\frac{2}{5}t,\\[4pt] y&=-\frac{9}{5}t,\\[4pt] z&=3t,\\[4pt] t&=t. \end{aligned}
Explicação: toda solução é obtida escolhendo um valor para t (variável livre) e calculando os outros através das relações acima.]

Passo 7

Escrever a solução em forma vetorial paramétrica. Tomando o parâmetro \lambda=t\in\mathbb{R}, obtemos
(x,y,z,t)=\lambda\left(\frac{2}{5},-\frac{9}{5},3,1\right).
Para ter um vetor da base com entradas inteiras (mais agradável na prova), podemos fatorar \frac{1}{5}:
(x,y,z,t)=\mu(2,-9,15,5),
onde \mu=\frac{\lambda}{5}\in\mathbb{R}. Isso não muda o espaço solução: é a mesma reta através da origem, apenas parametrizada de modo diferente.
Explicação didática: o espaço solução é o conjunto de todos os múltiplos escalares de um certo vetor não nulo — portanto é uma subspaço unidimensional (uma reta que passa pela origem).

Passo 8

Verificação de independência linear e conclusão sobre dimensão: o conjunto formado por um único vetor não nulo, por exemplo \{(2,-9,15,5)\}, é linearmente independente (não existe escalar não nulo que o anule), e seu span (espaço gerado) é exatamente o conjunto das soluções que encontramos. Assim o espaço solução é de dimensão 1.

Resposta

Uma base do espaço solução é \{(2,-9,15,5)\}.
\dim(\text{espaço solução})=1ççã.

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