Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear A \mathbf{x}=\mathbf{b} dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de A \mathbf{x}=\mathbf{0}.
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=-1
\begin{aligned} 2 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4} & =-2 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}-x_{3}-2 x_{4} & =1 \\\\ 3 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}+6 x_{4} & =-3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar a forma vetorial da solução geral do sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} dado pelas quatro equações
\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =-1\\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4} & =-2\\\\ - x_{1}+2 x_{2}-x_{3}-2 x_{4} & =1\\\\ 3 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}+6 x_{4} & =-3, \end{aligned}
  1. Usar o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Equação (1): } x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=-1,\\\ &\text{Equação (2): } 2 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=-2,\\\ &\text{Equação (3): } -x_{1}+2 x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=1,\\\ &\text{Equação (4): } 3 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}+6 x_{4}=-3. \end{aligned}çãçãçãçã
Nada mais é pedido além das formas vetoriais das soluções para os dois sistemas.

Passo 2

Vamos organizar o sistema na forma de matriz aumentada para visualizar dependências entre equações. A matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}] é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -4 & 2 & 4 & -2\\\\ -1 & 2 & -1 & -2 & 1\\\\ 3 & -6 & 3 & 6 & -3 \end{array}\right].
Agora verificamos relações entre as linhas: a linha 2 é 2 vezes a linha 1, a linha 3 é -1 vezes a linha 1, e a linha 4 é 3 vezes a linha 1. Explicitamente:
\begin{aligned} &\text{Linha}_2 - 2\cdot\text{Linha}_1 = 0,\\\ &\text{Linha}_3 + 1\cdot\text{Linha}_1 = 0,\\\ &\text{Linha}_4 - 3\cdot\text{Linha}_1 = 0. \end{aligned}
Portanto todas as quatro equações são múltiplos da equação (1). Isso significa que o sistema efetivamente fornece apenas UMA equação independente. Em consequência a matriz tem posto (rank) igual a 1.

Passo 3

Como só existe uma equação independente, teremos três variáveis livres. Vamos escolher como parâmetros livres
\text{escolher } \; s=\;x_{2},\quad t=\;x_{3},\quad u=\;x_{4}.
A partir da equação (1) temos uma expressão para x_{1} em função de x_{2},x_{3},x_{4}. Da equação
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=-1
isolamos x_{1}:
x_{1} = -1 + 2x_{2} - x_{3} - 2x_{4}.
Substituindo x_{2}=s,\;x_{3}=t,\;x_{4}=u obtemos
x_{1} = -1 + 2s - t - 2u.

Passo 4

Escrevemos o vetor solução \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} em função de s,t,u:
\mathbf{x}= \begin{pmatrix} -1 + 2s - t - 2u\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] u \end{pmatrix}.
Agora separamos a parte constante (uma solução particular) e as partes que multiplicam os parâmetros para obter a forma vetorial:
\mathbf{x}= \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde s,t,u\in\mathbb{R}. Esta é a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Breve comentário didático: aqui escolhemos x_{2},x_{3},x_{4} livres porque, após eliminação, x_{1} é a variável expressa em função das demais (pivot em x_1 e as outras são livres). Qualquer escolha de três parâmetros independentes daria uma descrição equivalente.]

Passo 5

Para o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} repetimos o mesmo raciocínio com 0 no lado direito. A equação independente é agora
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0.
Isolando x_{1} obtemos
x_{1}=2x_{2}-x_{3}-2x_{4}.
Com os mesmos parâmetros s=x_{2},\;t=x_{3},\;u=x_{4} obtemos a forma vetorial da solução homogênea (não há termo constante agora):
\mathbf{x}= s\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
com s,t,u\in\mathbb{R}.
Comentário final: a solução geral do sistema não-homogêneo é uma solução particular mais qualquer solução do homogêneo, o que verificamos na decomposição do Passo 4. O espaço das soluções homogêneas é um subespaço de dimensão 3 gerado pelos três vetores acima.]

Resposta

\boxed{\mathbf{x}= \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t,u\in\mathbb{R}}
\boxed{\mathbf{x}= s\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t,u\in\mathbb{R}}]

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