Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear A \mathbf{x}=\mathbf{b} dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de A \mathbf{x}=\mathbf{0}.
Agora verificamos relações entre as linhas: a linha 2 é 2 vezes a linha 1, a linha 3 é -1 vezes a linha 1, e a linha 4 é 3 vezes a linha 1. Explicitamente:
Portanto todas as quatro equações são múltiplos da equação (1). Isso significa que o sistema efetivamente fornece apenas UMA equação independente. Em consequência a matriz tem posto (rank) igual a 1.
Passo 3
Como só existe uma equação independente, teremos três variáveis livres. Vamos escolher como parâmetros livres
onde s,t,u\in\mathbb{R}. Esta é a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Breve comentário didático: aqui escolhemos x_{2},x_{3},x_{4} livres porque, após eliminação, x_{1} é a variável expressa em função das demais (pivot em x_1 e as outras são livres). Qualquer escolha de três parâmetros independentes daria uma descrição equivalente.]
Passo 5
Para o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} repetimos o mesmo raciocínio com 0 no lado direito. A equação independente é agora
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0.
Isolando x_{1} obtemos
x_{1}=2x_{2}-x_{3}-2x_{4}.
Com os mesmos parâmetros s=x_{2},\;t=x_{3},\;u=x_{4} obtemos a forma vetorial da solução homogênea (não há termo constante agora):
Comentário final: a solução geral do sistema não-homogêneo é uma solução particular mais qualquer solução do homogêneo, o que verificamos na decomposição do Passo 4. O espaço das soluções homogêneas é um subespaço de dimensão 3 gerado pelos três vetores acima.]