Determinar, se existir, os limites abaixo.
(19) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x-2}.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  • O limite é tomado quando x aproxima-se de 2 pela direita, isto é, por valores com x>2 e x\to 2.
  • É preciso dizer se o limite existe como número real finito; se não existir, identificar o comportamento (por exemplo, diverge para +\infty ou para -\infty).

Passo 2

Intuição simples e verificação por exemplos numéricos:
  • Se x>2 então x-2>0. Logo o denominador é positivo e \dfrac{1}{x-2} é positivo.
  • Aproximando x de 2 pela direita faz x-2 ficar um número positivo cada vez menor, e dividir 1 por um número positivo muito pequeno gera um número muito grande.
  • Exemplos: para x=2{,}1 tem-se \dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{0{,}1}=10; para x=2{,}01 tem-se \dfrac{1}{0{,}01}=100; para x=2{,}001 tem-se 1000. Esses exemplos mostram que os valores da função crescem sem limite à medida que x se aproxima de 2 pela direita.

Passo 3

Mudança de variável para ver o comportamento limite de forma direta:
  • Defina h=x-2. Então, ao fazer x\to 2^{+} temos h\to 0^{+} (isto é, h>0 e tende a zero).
  • A função fica \dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{h}.
  • Quando h tende a 0^{+}, o quociente \dfrac{1}{h} tende a +\infty porque dividir 1 por números positivos cada vez menores produz números positivos cada vez maiores.

Passo 4

Prova formal (definição de limite infinito):
  • A definição de \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty diz: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta, então f(x)>M.
  • Dado um M>0, escolha \delta=\dfrac{1}{M} (isso é positivo).
  • Se 0<x-2<\delta=\dfrac{1}{M} então, tomando reciprocais (pois todos os termos são positivos),
\frac{1}{x-2}>\frac{1}{\delta}=\frac{1}{1/M}=M.
  • Assim, para todo M>0 encontramos \delta>0 que garante f(x)>M sempre que 0<x-2<\delta. Isso é exatamente a demonstração de que
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x-2}=+\infty.

Passo 5

Interpretação final: o limite não existe como número real finito; a função diverge para +\infty quando x se aproxima de 2 pela direita. Força aí — é um tipo de limite que é muito comum e fácil de identificar na prova: checar o sinal do denominador e observar que seu módulo vai a zero.

Resposta

+\infty

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