Determinar, se existir, os limites abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas e o que isso significa:
- A função é
. - O limite é tomado quando
aproxima-se de pela direita, isto é, por valores com e . - É preciso dizer se o limite existe como número real finito; se não existir, identificar o comportamento (por exemplo, diverge para
ou para ).
Passo 2
Intuição simples e verificação por exemplos numéricos:
- Se
então . Logo o denominador é positivo e é positivo. - Aproximando
de pela direita faz ficar um número positivo cada vez menor, e dividir por um número positivo muito pequeno gera um número muito grande. - Exemplos: para
tem-se ; para tem-se ; para tem-se . Esses exemplos mostram que os valores da função crescem sem limite à medida que se aproxima de pela direita.
Passo 3
Mudança de variável para ver o comportamento limite de forma direta:
- Defina
. Então, ao fazer temos (isto é, e tende a zero). - A função fica
. - Quando
tende a , o quociente tende a porque dividir 1 por números positivos cada vez menores produz números positivos cada vez maiores.
Passo 4
Prova formal (definição de limite infinito):
- A definição de
diz: para todo existe tal que, se , então . - Dado um
, escolha (isso é positivo). - Se
então, tomando reciprocais (pois todos os termos são positivos),
- Assim, para todo
encontramos que garante sempre que . Isso é exatamente a demonstração de que
Passo 5
Interpretação final: o limite não existe como número real finito; a função diverge para
quando
se aproxima de
pela direita. Força aí — é um tipo de limite que é muito comum e fácil de identificar na prova: checar o sinal do denominador e observar que seu módulo vai a zero.